www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Flere eksempler på substitusjon

Vi viser noen eksempler til på integrasjon ved substitusjon.

Du vil kanskje stusse over at vi skriver «vi prøver substitusjonen ...» og lignende formuleringer. Dette er et bevisst ordvalg, for å understreke at det ikke finnes noen faste oppskrifter på hvordan man regner ut et gitt integral. Mange ubestemte integraler lar seg ikke regne ut i det hele tatt!

Moralen blir som følger: Dersom vi synes at et integral «lukter» substitusjon, prøver vi med den mest naturlige kjernen, og regner i vei. Kjører vi oss fast, må vi gå tilbake til start og prøve noe nytt. Det samme gjelder for delvis integrasjon, som vi alt har sett på.

Eksempel 1

Oppgave. Finn det ubestemte integralet 1xlnxdx.

Løsning. Her er det kanskje ikke umiddelbart opplagt hva vi bør velge som kjerne. Legg merke til at integranden 1xlnx  kan skrives som 1lnx1x. Hvis vi nå husker at (lnx)=1x , ser vi at substitusjonen u=lnx virker lovende. Vi får da at dudx=1x, og da er du=1xdx. Da kan vi regne ut integralet, og får at

1xlnxdx=1lnx1xdx=1udu=lnu+C=lnlnx+C.

Eksempel 2

Oppgave. Finn det ubestemte integralet exdx.

Løsning. Her virker det kanskje rart å prøve med substitusjon. Den eneste fornuftige kjernen å snakke om, er u=x, men den deriverte dudx=12x er jo ikke noen faktor i integranden.

Vi kan imidlertid gjøre et lite triks. Hvis u=x, kan vi nemlig sette

dudx=12x=12u,

og dette vil vise seg å gi svaret. Ved å skrive om uttrykket ser vi at dx=2udu, og da får vi at

exdx=eu2udu.

Ved første øyekast ser dette kanskje ikke ut til å hjelpe. Men integralet til høyre er lett å håndtere med delvis integrasjon! Vi har at

2ueudu=2ueu-2eu+C,

og når vi setter inn  u=x får vi det endelige svaret:

exdx=2xex-2ex+C.

Publisert: 14.01.2014 Endret: 18.08.2014