www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Integraler som kan løses ved delvis integrasjon

Det krever litt trening å se når – og hvordan – man bør bruke delvis integrasjon. Her skal vi gi noen råd og eksempler.

Når integranden er et produkt av to faktorer der den ene blir enklere ved derivasjon og den andre ikke blir mye mer komplisert ved integrasjon, kan man prøve delvis integrasjon. Hvis Px er et polynom kan noen typiske eksempler være:

  • Pxsinxdx. Sett u=Px og v'=sinx.
  • Pxcosxdx. Sett u=Px og v'=cosx.
  • Pxexdx. Sett u=Px og v'=ex.
  • Pxlnxdx. Sett u=lnx og v'=Px.

I de tre første tilfellene over blir Px forenklet ved derivasjon, mens den andre faktoren ikke blir mer komplisert ved integrasjon. I det siste eksempelet kvitter vi oss med lnx ved å derivere. Px blir litt mer komplisert ved integrasjon, men ikke verre enn at vi kan håndtere det.

Prøv gjerne selv å regne over noen eksempler som de vi har over. Du kan for eksempel sette Px=x. Å kontrollere svaret er lett: Da må du bare derivere det du fikk og sjekke at det blir det du startet med.

Eksempel 1

Oppgave. Finn en antiderivert til funksjonen hx=x2-2xlnx.

Løsning. Vi beregner det ubestemte integralet hxdx ved delvis integrasjon. Her lønner det seg å bytte rekkefølge på faktorene og sette u=lnx og v=x22x. Vi får da:Gjennomføring av delvis integrasjon der de forskjellige delene er merket.

Funksjonen Hx=ln x(13x3x2)19x3+12x2 er derfor en antiderivert til h(x).

Eksempel 2

Noen ganger må vi bruke delvis integrasjon flere ganger for å regne ut et integral.

Oppgave. Beregn 12x2exdx.

Løsning. Vi setter u=12x2 og v'=ex. Da er u=x, og v=ex. Dermed får vi at

12x2exdx=12x2ex-xexdx.

For å løse det siste integralet bruker vi delvis integrasjon igjen. Denne gangen setter vi u=x, og v=ex. Da blir u=1, og v=ex, slik at

xexdx=xex-1exdx=xex-ex+C.

Når vi setter inn dette får vi svaret:

12x2exdx=12x2ex-xex+ex+C.

Publisert: 14.01.2014 Endret: 20.08.2014