www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Delvis integrasjon

Vi har lært om hvordan vi kan integrere en sum av funksjoner. Hva med et produkt?

 

For å finne ut av det må vi huske hva vi gjorde da vi fant integrasjonsregler for en del konkrete funksjoner: Vi brukte derivasjonsteknikker "baklengs." Hvis vi skal snakke om integrasjon av produkter bør vi da tenke på produktregelen for derivasjon. Vi minner om at dersom u(x) og v(x) er deriverbare funksjoner, så er

uxvx'=u'xvx+uxv'x.

Nå integrerer vi begge sider av denne likningen. Da får vi (ved å bruke generell regel 2 fra teoremet i seksjonen "Ubestemte integraler") at

uxvx' dx=u'xvxdx+uxv'xdx.

Det som står på venstresiden her er u(x)v(x), fordi integrasjon og derivasjon opphever hverandre. Dermed har vi fått

uxvx=u'xvxdx+uxv'xdx

Vi har bevist formelen for delvis integrasjon. Det er vanlig å stokke den om litt, så vi skriver teoremet slik: 

Teorem. Delvis integrasjon

Anta at u og v er deriverbare og har 

Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon er en funksjon uten "hopp" – for en funksjon man kan tegne vil det si at den kan tegnes uten å løfte blyanten fra papiret.

kontinuerlige
deriverte. Da gjelder

uxv'xdx=uxvx-u'xvxdx.


Det viser seg (selv om man kanskje ikke skulle tro det) at formelen over forenkler mange vanskelige integraler – men ikke alle! Det finnes dessverre ingen regel som forteller akkurat når det lønner seg å bruke delvis integrasjon. Og for å gjøre ting enda verre: I de tilfellene der delvis integrasjon fungerer, er det ikke alltid opplagt hvilken faktor som bør være u(x) og hvilken som bør være v(x).

Vi vil øve oss litt, så i neste seksjon skal vi se på noen eksempler på bruk av delvis integrasjon.

Publisert: 13.01.2014 Endret: 17.08.2016