www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Bestemte integraler

Navnet ubestemt integral antyder at det også finnes et bestemt integral. Her skal vi se litt på dette.

Vi begynner med definisjonen av et bestemt integral.

Definisjon. Bestemt integral

La f være en 

Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon er en funksjon uten "hopp" – for en funksjon man kan tegne vil det si at den kan tegnes uten å løfte blyanten fra papiret.

kontinuerlig
funksjon. Det bestemte integralet abfxdx, er gitt ved at

abfxdx=Fb-Fa,

der F er en antiderivert av f.

Her ser vi sammenhengen mellom et bestemt og et ubestemt integral. I forrige del lærte vi å beregne antideriverte til en funksjon, og nå ser vi en måte å bruke dem på. Merk at på høyresiden blir konstanten C borte i subtraksjonen, så når vi skal regne ut bestemte integraler trenger vi ikke å prøve å finne den.

Hva er det bestemte integralet? En av de viktigste tolkningene er at det er en arealberegning:

Teorem. Arealberegning

La f være en kontinuerlig funksjon og la a,b være et intervall i 

Definisjonsmengde

Definisjonsmengden til en funksjon f(x) er det intervallet av x-verdier funksjonen er definert for. Eksempel:

f(x)=1x    for x(0,)

har definisjonsmengde (0,) . Legg merke til at funksjonen ikke kan være definert i x=0 fordi vi ikke kan dele på 0.

definisjonsmengden
til f. Hvis f er ikkenegativ på hele intervallet, er

abfxdx

lik arealet avgrenset av x-aksen, f og de vertikale linjene x=a og x=b.

Eksempel

Oppgave. Hva er arealet under grafen til fx=14x2+2, og mellom 0 og 4 på x-aksen? (Se bildet nederst på siden)

Løsning. I følge teoremet over trenger vi en antiderivert, og med regnereglene fra forrige seksjon ser vi at

fxdx=112x3+2x+C.

Da kan vi bruke teoremet, og gjøre denne utregningen:

04fxdx=11243+24-11203+20=403.

Arealet av det skraverte området på bildet er dermed 403. Siden vi ikke har noen enheter i oppgaveteksten kan vi ikke gi noen måleenhet her.

Bilde som viser arealet utspent av funksjonen i eksempelet over og grensene dens.

I GeoGebra-arket under kan du prøve å flytte grenser og endre funksjon og se hvordan integralet ser ut. Hva skjer med det bestemte integralet hvis funksjonen også er negativ? Prøv å regne ut integralet av fx=x3 fra -1 til 1. Hva ser du da?

Bestemt integral

Publisert: 13.01.2014 Endret: 17.08.2016