Delbrøksoppspalting - et eksempel

Eksempel

Oppgave. Finn reelle tall $A$ og $B$ slik at

$\frac{5x-7}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$.

Løsning. La oss gange på begge sider av likningen med fellesnevneren $(x-1)(x-2)$:

$5x-7=A\left(x-2\right)+B\left(x-1\right)$.

Herfra er det to veier å gå for å finne $A$ og $B$. Den ene består i å lage et likningssystem der $A$ og $B$ er de ukjente. Den andre består i å sette inn «lure» verdier for $x$. Vi viser begge metodene:

Metode 1: Likningssystem

Ideen her er å gange ut høyresiden i det første eksempelet og samle x-leddene for seg, og konstantene for seg. Likheten i det første eksempelet blir da omskrevet til

$5x-7=\left(A+B\right)x+\left(-2A-B\right)$.

Ved å sammenligne de to sidene, ser vi nå at $A$ og $B$ må oppfylle likningssystemet

$\begin{array}{c}A+B=5\\ -2A-B=-7\end{array}$

Nå gjenstår det bare å løse likningssystemet. Legger vi sammen de to likningene, får vi umiddelbart $-A=-2$, det vil si $A=2$. Setter vi inn dette i den øverste likningen, får vi at $2+B=5\iff B=3$.

Metode 2: Innsetting av lure verdier

Her er poenget at for noen spesielle verdier av $x$, blir høyresiden i oppgaveteksten mye enklere. De spesielle verdiene er røttene i nevneren, som her er $x=1$ og $x=2$. Hvis vi setter inn $x=1$, får vi

$5\cdot 1-7=A\left(1-2\right)+B\left(1-1\right) \iff -2=-A \iff A=2$.

Med $x=2$ får vi

$5\cdot 2-7=A\left(2-2\right)+B\left(2-1\right) \iff B=3$.

Vi ser at her fikk vi samme svar som metode en, men vi trengte ikke å løse noe likningssystem.

Uavhengig av hvilken metode vi velger ser vi at svaret er

$\frac{5x-7}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}$.