www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Rette linjer (lineære funksjoner)

Lineær funksjon er det matematiske navnet på en rett linje. Når tegneprogrammer som Photoshop vil lagre en rett linje lagres den i bakgrunnen som en lineær funksjon.

I forrige seksjon så vi at en funksjon der variabelen er i første potens blir en rett linje. En lineær funksjon er en funksjon som kan skrives som y=ax+b, der a og b er konstante tall, mens x er variabelen. Vi kaller dette noen ganger for en førstegradslikning fordi den ukjente x er i første potens. Alle rette linjer i koordinatsystemer kan skrives som lineære funksjoner. Vi skal starte med noen eksempler.

Grafen til en førstegradslikning

 

Grafen til y = 2x + 1 skjærer y-aksen i punktet (0,1). Et eksempel på en lineær funksjon er y=2x+1. Når vi tegner denne lager vi en linje som går gjennom alle punktene (x,y) som passer i denne likningen. Ett eksempel på et slikt tallpar er x=0,5 og y=0. På tegningen til venstre kan du selv sjekke at dette punktet (og kanskje noen andre du regner ut selv) ligger på linja.






 

 

 

Grafen til y=b

Grafen til y = 1 går gjennom punktet (0,1) og for alle verdier av x er alltid y = 1.

Hvis a=0 er det viktig å ikke bli forvirret – grafen er fortsatt en rett linje. Siden a er 0 blir y=ax+b=0x+b=b, og x-leddet er altså borte. Det betyr at uavhengig av hvilken verdi av x vi velger får vi samme verdi av y, og dermed er grafen en flat rett linje. Til venstre har vi tegnet grafen for y=1.

 

Grafen til y=ax+b bestemmes av a og b

Ved å se på konstantene a og b kan man si mye om en lineær funksjon også uten å tegne den. Tallet a står ved x, og avgjør hvor bratt funksjonen er, mens tallet b flytter linja oppover eller nedover i koordinatsystemet.

stigningstall

Tallet a kalles stigningstallet til linjen.

Når stigningstallet er negativt, synker linjen når vi beveger oss mot høyre langs x-aksen.

Når stigningstallet er positivt, vokser linjen når vi beveger oss mot høyre langs x-aksen.

 



I y=2x+1 er stigningstallet a=2. Det betyr at når vi går et steg til høyre langs x-aksen, stiger grafen med 2 oppover på y-aksen. Sammenlikn med grafen og sjekk at dette stemmer!

konstantledd

Tallet b kalles konstantleddet og forteller oss hvor linjen krysser y-aksen.




Linjen krysser y-aksen når x=0. I y=2x+1 er b=1, og det betyr at funksjonsverdien når grafen krysser y-aksen er y=1. Sjekk at dette stemmer med begge de to figurene over.

Et eksempel

Anta at punktene (1,2) og (2,5) ligger på grafen til en lineær funksjon. Vi vil tegne grafen og finne den lineære funksjonen som representerer denne rette linja.

Først markerer vi punktene: Punktene (1,2) og (2,5) markert i et koordinatsystem.
Og så trekker vi linja:  En rett linje går gjennom punktet (1,2) og (2,5).

 

For å finne funksjonen må vi finne stigningstallet og punktet der linjen krysser y-aksen. Stigningstallet finner vi ved å se hvor mye y vokser når vi øker x med 1. De to punktene forteller oss at når x øker med 1 øker y med 3. Dette betyr at stigningstallet a er lik 3.

Konstantleddet finner vi ved å se hvor linjen krysser y-aksen. Der er y-verdien -1, og som vi forklarte over betyr dette at b=1. Vi har dermed funnet ut  at funksjonsuttrykket er y=3x1.

Stigningstall:

Vi går en bort til høyre og 3 steg opp på y-aksen. Derfor vet vi at stigningstallet er 3.

Konstantledd:  

Stigningstallet er der grafen skjærer y-aksen (altså der x=0). Her ser vi at grafen skjærer y-aksen i y=-1.

 

Et tips: Er du usikker på om du har funnet riktig uttrykk? Sett inn for x-verdiene fra de to punktene som ligger på grafen og se når du regner ut om du får de to tilhørende y-verdiene.

Publisert: 16.08.2013 Endret: 21.11.2016

Begrep

  • Andreakse

    Andreakse

    Den vertikale/loddrette aksen i et koordinatsystem. Kalles også y-aksen.

  • Førsteakse

    Førsteakse

    Den horisontale/vannrette aksen i et koordinatsystem. Kalles også for x-akse.

  • Graf

    En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

  • Koordinat

    Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

  • Koordinatsystem

    Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

  • Likning

    En likning er et åpent utsagn der det inngår en ukjent størrelse. Den ukjente skriver vi ofte som x.
    x + 8 = 17

    er en likning.

  • x-akse

    x-akse

    Den horisontale aksen i et koordinatsystem. Kalles også førsteakse.

  • y-akse

    y-akse

    Den loddrette aksen i et koordinatsystem. Kalles også andreaksen.