www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Andregradsfunksjoner

Vi har sett på lineære funksjoner, der variabelen er i første potens. Nå skal vi se på hva som skjer hvis vi har variabelen i andre potens. Vi får da det vi kaller en kvadratisk funksjon, eller andregradsfunksjon. 

La oss starte med å klargjøre hva vi mener med en andregradsfunksjon. En lineær funksjon, eller en førstegradsfunksjon, ser slik ut:

y=ax+b.

Nå vil vi ha et ledd til, der x er i andre potens, og en andregradsfunksjon ser slik ut:

y=ax2+bx+c.

Her er a, b og c vilkårlige tall. Merk at hvis a=0 er funksjonen bare en lineær funksjon. Konstantene a, b og c gir oss mye informasjon om hvordan grafen til funksjonen ser ut. Vi går gjennom noen regler.

Konstanten a

Fortegnet foran a forteller oss om grafen er bøyd oppover eller nedover.
  • Når a>0 bøyer grafen seg oppover.
 Grafen til funksjonen y=x^2.
  • Når a<0 bøyer grafen seg nedover.
Grafen til funksjonen y=-x^2. 
Når a er et stort tall er funksjonen bratt, og når a er et lite tall blir den slak.
  • Når a=10 er grafen til funksjonen allerede mye brattere.
 Grafen til funksjonen y=10*x^2.
  •  Når a=110 er grafen til funksjonen allerede mye slakere.
 Grafen til funksjonen y=(1/10)*x^2

Konstanten b

Fortegnet foran b forteller oss hvordan grafen er forskjøvet langs x-aksen.

  • Dersom a er positiv og b er negativ, er grafen flyttet mot høyre, og bunnpunktet er på høyre side av y-aksen.
Grafen til funksjonen y=x^2-x.
  • Dersom a er positiv og b er positiv, er grafen flyttet mot venstre, og bunnpunktet er på venstre side av y-aksen.
Grafen til funksjonen y=x^2+x. 
  • Dersom a er negativ og b er negativ, er grafen flyttet mot venstre, og topp-punktet er på venstre side av y-aksen.
 Grafen til funksjonen y=-x^2-x
  • Dersom a er negativ og b er positiv, er grafen flyttet mot høyre, og topp-punktet er på høyre side av y-aksen.
Grafen til funksjonen y=-x^2+x 

Konstanten c

Tallet c forteller oss hvor grafen skjærer y-aksen. Her kan vi tenke som for lineære funksjoner: Når grafen skjærer y-aksen er x=0, så da er y=c, og dermed får vi følgende regel:

Grafen krysser y-aksen i c, uavhengig av fortegnet til c.
  •  Når c=2 krysser grafen y-aksen i 2.                                                                                   
 Grafen til funksjonen y=x^2+2.
  • Når c=2 krysser grafen y-aksen i 2.
 Grafen til funksjonen y=x^2-2.
Publisert: 16.08.2013 Endret: 06.01.2014

Begrep

  • Andregradsuttrykk

    Et uttrykk på formen ax2+bx+c, hvor x er den størrelsen som varierer, og a,b og c er konstante tall.

  • Graf

    En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

  • Likning

    En likning er et åpent utsagn der det inngår en ukjent størrelse. Den ukjente skriver vi ofte som x.
    x + 8 = 17

    er en likning.

  • Variabel

    En bokstavbetegnelse på et vilkårlig element i en mengde. Det motsatte er en konstant. I uttrykket y = 10x er 10 en konstant og x en variabel. y er en annen variabel, avhengig av x.