www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Derivasjonsregler

Hittil har vi sett på definisjonen av den deriverte, men det er både upraktisk og slitsomt å måtte regne ut den deriverte direkte via definisjonen for alle funksjoner. Derfor har vi en rekke derivasjonsregler som vi bruker til vanlig.

Spesielle regler

La a og b være konstanter. Da gjelder:

  1. fx=bf'x=0

  2. fx=ax+bf'x=a

  3. fx=1xf'x=-1x2

  4. fx=xf'x=12x

  5. fx=xbf'x=bxb-1

  6. fx=lnxf'x=1x

  7. fx=exf'x=ex

  8. fx=axf'x=axlna

  9. fx=sinxf'x=cosx

  10. fx=cosxf'x=-sinx

  11. fx=tanxf'x=1cos2x=tan2x+1

Generelle regler

La u og v være deriverbare funksjoner, og k en konstant. Da gjelder:

12. ku'=ku'(multiplikasjon med en konstant)

13. u+v'=u'+v'(addisjonsregelen)

14. u-v'=u'-v'(subtraksjonsregelen)

15. uv'=u'v+uv'(produktregelen)

16. uv'=u'v-uv'v2(brøkregelen)

 

Eksempel på utledning av regler

Vi skal ikke utlede alle reglene over, men inkluderer utledningen av ax+b'  og 1x' som eksempeler på hvordan det gjøres.

Utledning av regel 2:

Vi utleder formelen generelt for a og b, det vil si at a og b kan være hvilke som helst konstanter.

ax+b'= limh0ax+h+b-ax+bh=
  limh0ax+ah+b-ax-bh=
  limh0ahh=
  limh0a=a

   

Der vi har brukt at hvis fx=ax+b , så er fx+h=ax+h+b.

Utledning av regel 3:

Per definisjon av den deriverte, er

1x´=limh01x+h1xh

 Dette er et 00-uttrykk, så vi må omforme uttrykket før vi kan sette inn. Siden uttrykket inneholder en brudden brøk, starter vi med å kvitte oss med den:

 limh0(1x+h1x)xx+hhxx+h=limh0xx+hhx(x+h)=limh0hhx(x+h)=limh01x(x+h). 

Dette uttrykket er ikke lenger på formen 00, så vi kan finne grenseverdien ved å sette inn h=0. Den deriverte blir:

1x´=limh01xx+h=1xx+0=1x2
Publisert: 05.08.2013 Endret: 27.02.2017