Rasjonale likninger

Rasjonale likninger kjennetegnes ved at den ukjente er å finne i minst en av nevnerne.

Eksempler på rasjonale likninger er 

$\frac{4}{x}=2$,

$\frac{1}{x+4}$, 

og $\frac{2x}{x+1}=\frac{2}{x-1}$.

Hvordan løse en rasjonal likning?

Vi må starte med å anta at den ukjente gjør at nevneren i likningen er forskjellig fra $0$. Denne antagelsen må vi sjekke om stemmer til slutt, når vi har funnet én eller flere løsninger.

1. Multipliser med fellesnevneren.

Finn fellesnevneren for utrykket. Dette vil være et utrykk med $x$.

2. Løs likningen.

Etter å ha multiplisert en rasjonal likning med fellesnevneren, vil vi få for eksempel en lineær likning eller en andregradslikning. Bruk regler for den gjeldende likningstypen for å finne løsning.

3. Sett prøve på svaret - sjekk at løsningen(e) ikke gir null i nevneren!

Eksempel 1

Vi løser $\frac{3}{x-1}=\frac{6}{x}$.

Vi antar at $x$ har en verdi slik at ingen av nevnerne blir lik null, altså $x\ne 1 \mathrm{og} x\ne 0$. Denne antagelsen må vi sjekke om stemmer til slutt, når vi har funnet én eller flere løsninger.

1. Fellesnevneren for $x-1$ og $x$  er $\left(x-1\right)x$. Vi multipliserer med fellesnevneren begge sider av likningen:

$\frac{3x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)}=\frac{6x\left(x-1\right)}{x}$

$3x=6\left(x-1\right)$ .

2. Dette er en lineær likning som vi løser (se i høyrespalten Lineære likninger for å se løsningsmetoden):

$3x=6\left(x-1\right)$
$3x=6x-6$

$-3x=-6$

$\frac{-3x}{-3}=\frac{-6}{-3}$

$x=2$

3. Til slutt sjekker vi at løsningen ikke gir null i nevneren i den originale likningen. Det gjør den ikke her, og vi konkluderer med at $x=2$.

Eksempel 2

Løs likningen $\frac{x}{x-1}+\frac{x+2}{x}=\frac{2}{x^2-x}$.

Fellesnevneren for alle tre nevnere finner vi allerede på høyresiden, altså  $x^2-x=x\left(x-1\right)$.

Vi løser likningen:

Vi løser så andregradslikningen: 

$x=\frac{-1\pm \sqrt{1+32}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{4}$

Vi kan bruke kalkulator og finne en tilnærming: $x=1,186\vee -1,686$

Denne tilnærmingen kan du bruke til å sette prøve på svaret.