www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Kvadratrøtter

Hva er en kvadratrot?

Tenk på et kvadrat med areal 9 cm2. Arealformelen til et kvadrat A med sider av lengde s cm, er 

s opphøyd i annen potens. Dette gir nettopp arealet i cm2:

Siden 9=32, forstår vi at kvadratet har sidelengde 3 cm. Det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 9, kaller vi kvadratroten av 9. Vi skriver

9=3
Vi ser at sidelengden s er gitt som kvadratroten av arealet:

s=A, når  s2=A.

 

Definisjon
Anta at a0. Da er a (kvadratrota av  a) det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik a.


Definisjonen legger dermed to krav på kvadratrota av a. For det første er (a)2=a og a0 . Med ord betyr dette at kvadratroten til et tall multiplisert med seg selv er lik tallet under kvadratroten. Det andre kravet er at kvadratroten til tallet må være større eller lik 0. Nå skal vi se et eksempel på hva dette medfører.

 

Eksempel 1.

Finn kvadratroten av 4.

Nå er a=4 og vi får a=4=2 .

Vi ser at resultatet oppfyller kravene i definisjonen, siden 22=4  og 2>0. Vi vet at også

(2)(2)=(2)2=4.

Vi kaller likevel ikke 2 for kvadratroten av 4. Det negative tallet oppfyller ikke definisjonen av en kvadratrot, siden 2<0.

Legg ellers merke til at vi kun har definert kvadratrota av tall som er større enn eller lik null (a0). Vi kan ikke finne kvadratrøtter av negative tall, fordi ingen reelle tall multiplisert med seg selv gir et negativt produkt.

 

Eksempel 2.

Løs likningen x24=0.

Vi legger til 4 på begge sider av likhetstegnet og trekker sammen like ledd:

x24+4=0+4
x2=4

Vi ser at 4=2 er en løsning. Men også (2)2=4 . Begge verdiene for x stemmer i likningen, og dermed er både 2 og 2 løsninger av denne.


Hvis vi fortsetter å løse likningen skritt for skritt, ville vi ha tatt kvadratroten på begge sider og skrevet følgende

 x=±4 

På denne måten vil vi få begge løsningene, fordi ± står for + og .

x=±4=±2.

Vi bruker tegnet ± for å markere de to løsningene.

Likningen x2=4 har løsningene x=±2, som er en kortere måte å skrive x=2 og x=2.

Publisert: 26.07.2013 Endret: 25.11.2015

Begrep

  • Areal

    Mål for hvor stor flate en figur dekker. Noen måleenheter for areal er m2, cm2 og dm2.

  • Brøk

    En brøk består av tre elementer: teller, brøkstrek og nevner. Brøkstrek betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i.

    25 uttrykker 2 deler av i alt 5 deler. 25 av 20 kr blir altså 8 kr.

  • Faktorisering

    Faktorisering går ut på å skrive tall som produkt av primtall. Alle tall større enn 1 kan skrives entydig som produktet av primtall. Eksempelvis kan tallet 36 skrives som 1 · 2 · 2 · 3 · 3.

  • Kvadrat

    Kvadrat

    En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

  • Kvadratrot

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er altså +4. Det skrives 16=4.

    Generelt: Kvadratroten av et positivt tall T er det positive tallet k som multiplisert med seg selv gir T.

    OBS.
    - En kan ikke trekke roten av et negativt tall.
    - Roten er alltid positiv

  • Kvadrattall

    Et helt tall som er lik med kvadratet (andre potens) av et annet helt tall.
    F.eks. er 9 et kvadrattall fordi 32=9.

  • Kvotient

    Resultatet av en divisjon kalles kvotienten.
    Eksempel: 32 : 8 = 4
    Her er 4 kvotienten.

  • Likhetstegn

    Likhetstegnet = forteller at det som står til venstre for likhetstegnet er akkurat like stort som det som står til høyre.

  • Likning

    En likning er et åpent utsagn der det inngår en ukjent størrelse. Den ukjente skriver vi ofte som x.
    x + 8 = 17

    er en likning.

  • Naturlige tall

    Tallene 0,1,2,3,... De naturlige tallene danner grunnlag for alle andre vanlige tall (hele tall, rasjonale tall, reelle tall, komplekse tall) ved at disse kan konstrueres ut fra de naturlige tallene ved matematiske prosesser. Mengden av naturlige tall er ℕ.

  • Negative tall

    Tall som er mindre enn null, kalles negative tall. Vi viser at tallet er negativt ved å sette - foran tallet.

  • Nevner

    Tallet eller utrykket som står under brøkstreken i en brøk.
    Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

    Eksempel : 37. Tallet 7 er nevneren.

  • Positive tall

    Tall som er større enn null kalles positive tall.

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).

  • Produkt

    Produktet er et resultat av en multiplikasjon.

    Eksempel : 2·7=14

    14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.

  • Reelle tall

    Et tall som enten er rasjonalt eller er grenseverdi for en følge av rasjonale tall. Mengden av reelle tall er ℝ.

  • Rot

    Roten (=kvadratroten) av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er altså +4, fordi 4·4=16. Det skrives 16=4.

    Generelt: Kvadratroten av et positivt tall T er det positive tallet k som multiplisert med seg selv gir T.

    OBS!
    - En kan ikke trekke roten av et negativt tall.
    - Roten er alltid positiv.