www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Potenser med brøk som grunntall

Hvordan regner vi med potenser hvis grunntallet er en brøk?

Brøk som grunntall og eksponenten er positiv

Vi skal først se på et eksempel der grunntallet er en brøk og eksponenten i potensen er positiv.

Eksempel


Vi starter med en brøk 12, og eksponent 5:

(12)5=1212121212    

Husk at mutliplikasjon av brøker betyr å multiplisere teller med teller og nevner med nevner.

(12)5=1212121212=1111122222=1525=125(=132)

 

Vi kan igjen velge en tilfeldig brøk, ab som grunntall og en tilfeldig eksponent, n. Vi får

Hele brøken a/b er opphøyd i n. Dette er lik brøken a/b multiplisert med seg selv n ganger. Dette er lik en fellesbrøkstrek der telleren er a multiplisert med seg selv n ganger og nevneren er b multiplisert med seg selv n ganger. Dette er lik brøken med teller a opphøyd i n og nevner b opphøyd i n.

Vi ser at å opphøye en brøk i n er det samme som å opphøye både telleren og nevneren i n.

Regel
For enhver brøk ab og naturlig tall n, er (ab)n=anbn.

 

Brøk som grunntall og eksponenten er negativ

Hva skjer hvis grunntallet i potensen er en brøk og eksponenten er et negativt tall?

Eksempel

La oss se på følgende

 (52)3=5323 

Her har vi brukt regelen over. Husk at et negativt tall som eksponent betyr at vi kan gjøre om hele potensen til et brøk der den samme potensen med positiv eksponent er nevneren. 

53=153 

23=123

Vi setter brøkene inn og får at

 5.323=153123 


Nå har vi en 

Brudden brøk

En brudden brøk har en brøk i teller eller nevner, eller i begge.

brudden brøk,
en brøk i telleren og en brøk i nevneren. Hvis du ikke husker hvordan du regner med disse brøker, se lynkurset Brøker. Vi regner ut og får at

 153123=153231=2353 


Det ser ut som om grunntallene har byttet plass og eksponenten har blitt positiv istedet for negativ.

 

La oss lage en regel. Vi viser det vi fant i eksemplet med to vilkårlige tall a og b at (ab)n=(ba)n.

Vi har at (ab)n=1(ab)n=1anbn.
     

Vi utvider denne brudne brøken med bn (multipliserer med bn over og under hovedbrøkstreken), og får at

1anbn=1bnanbnbn=bnanbnbn=bnan=(ba)n
  

Regel

En brøk opphøyd i en negativ eksponent er lik den inverse brøken opphøyd i den samme positive eksponentent.

 (ab)n=(ba)n 

Publisert: 26.07.2013 Endret: 26.06.2014

Begrep

  • Brøk

    En brøk består av tre elementer: teller, brøkstrek og nevner. Brøkstrek betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i.

    25 uttrykker 2 deler av i alt 5 deler. 25 av 20 kr blir altså 8 kr.

  • Eksponent

    En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. Det er n som kalles eksponenten.

    xn = x·x·x···x, n ganger

  • Grunntall

    En potens består av et grunntall og en eksponent.
    Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som å addere samme tall flere ganger. Ofte kalt "ganging". Et av tallene i multiplikasjonen forteller hvilket tall som skal adderes. Det andre tallet forteller hvor mange ganger det skal adderes.

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

  • Negative tall

    Tall som er mindre enn null, kalles negative tall. Vi viser at tallet er negativt ved å sette - foran tallet.

  • Nevner

    Tallet eller utrykket som står under brøkstreken i en brøk.
    Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

    Eksempel : 37. Tallet 7 er nevneren.

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).

  • Teller

    Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
    Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

    I brøken 59, er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.