www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Potenser med samme grunntall

Multiplikasjon av potenser med samme grunntall

En generell potens med grunntall a og eksponent n ser slik ut

a opphøyd i n er lik a multiplisert med a multiplisert med ... multiplisert med a (n faktorer tilsammen).

På høyre side av likhetstegnet er det n faktorer. Hva skjer hvis vi multipliserer to potenser med samme grunntall? La oss se på et eksempel.


Eksempel

4542=(44444)(44)=4444444=47
Det ser ut til at vi kan legge sammen eksponentene:

4542=45+2=47

Når vi multipliserer to tilfeldige tall med grunntall a, for eksempel am og an beholder vi grunntallet og legger sammen eksponentene.

a opphøyd i m multiplisert med a opphøyd i n er lik en parantes med a multiplisert med seg selv m ganger multiplisert med en parantes der er a multiplisert med seg selv n ganger. I første parentesen er det m faktorer og i den andre er det n faktorer. Til sammen er det m + n faktorer.

Regel

Når vi multipliserer to potenser med samme grunntall, beholder vi grunntallet og legger sammen eksponentene.

aman=am+n


Siden vi valgte et tilfeldig grunntall a, og tilfeldige eksponenter n og m, kan vi vite at regelen gjelder uansett hvilke tall vi setter inn for a,n eller m .

Å dividere potenser med samme grunntall


Nå skal vi se på hva resultatet er når vi dividerer to potenser med samme grunntall. La oss se på et eksempel.

Eksempel

 7573=77777777=771=72      

Dette ser ut som om vi trekker eksponenter fra hverandre:

 7572=75:73=753=72 

Når vi dividerer to tilfeldige potenser med det samme grunntallet a , og to tilfeldig valgte eksponenter m og  n ser det ut som

a opphøyd i m dividert med a opphøyd i n (skrevet som en brøk) er lik en brøk der telleren er a multiplisert med seg selv m ganger og nevneren er lik a multiplisert med seg selv n ganger. I telleren er det m faktorer og i nevneren er det n faktorer.

Vi kan forkorter brøken og får at

En brøk der telleren er a multiplisert med seg selv m ganger og nevneren er a multiplisert med seg selv n ganger. I telleren er det m faktorer og i nevneren er det n faktorer. Denne brøken er lik en brøk der telleren er lik a multiplisert med seg selv m - n ganger og nevneren er lik 1. I telleren er det m - n faktorer. Denne brøken igjen er lik a opphøyd i (m - n).

 

Regel

Når vi dividerer to potenser med samme grunntall, beholder vi grunntallet, og eksponenten blir differensen mellom eksponentene i teller og nevner.

aman=amn


Denne regelen er utledet m>n. Men den gjelder også når m er mindre enn eller lik n, som vi skal se i "Potenser med null og negative tall som eksponenter".

Publisert: 26.07.2013 Endret: 26.06.2014

Begrep

  • Brøk

    En brøk består av tre elementer: teller, brøkstrek og nevner. Brøkstrek betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i.

    25 uttrykker 2 deler av i alt 5 deler. 25 av 20 kr blir altså 8 kr.

  • Differanse (tall)

    Utrykket a - b kalles differansen mellom a og b.

    10 - 2 = 8. Differansen mellom 10 og 2 er 8.

  • Divisjon

    Defineres som den omvendte operasjonen av multiplikasjon. Eks. 6:2=3 fordi 23=6.

  • Eksponent

    En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. Det er n som kalles eksponenten.

    xn = x·x·x···x, n ganger

  • Faktor

    Når tall multipliseres, kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. Eksempel: 5 · 3 = 15. 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet, og vi kan si at produktet består av faktorene 5 og 3.

  • Grunntall

    En potens består av et grunntall og en eksponent.
    Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

  • Likhetstegn

    Likhetstegnet = forteller at det som står til venstre for likhetstegnet er akkurat like stort som det som står til høyre.

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som å addere samme tall flere ganger. Ofte kalt "ganging". Et av tallene i multiplikasjonen forteller hvilket tall som skal adderes. Det andre tallet forteller hvor mange ganger det skal adderes.

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).