www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Én, mange eller ingen løsninger?

Hvor mange løsninger kan et lineært likningssystem ha?

Et lineært likningssystem har ikke alltid nøyaktig én løsning. Vi skal se nå på tre eksempler som viser likningssystemer med uendelig mange løsninger, ingen løsninger og nøyaktig en løsning.

A) Uendelig mange løsninger

Eksempel

(1) x+y=2

(2) 2x+2y=4

Hvis vi multipliserer alle ledd i (1) med 2, får vi nøyaktig likning (2). Dette betyr at dette er et likningssett med to like likninger. Hvis vi tegner grafen til likningene i et koordinatsystem, ser vi at vi tegner en og samme linje to ganger.

To grafer som er en linje. Grafene ligger oppå hverandre. Punktene som passer i likning (1), er de samme punktene som passer i likning (2). Alle punktene som linjen består av tilfredsstiller kravene til likningene. Dermed har vi uendelig mange løsninger som alle må tilfredsstille x+y=2

 

B) Ingen løsninger

Eksempel

 2x+y=3   (1)4x+2y=4   (2)

Hvis du multipliserer venstresiden i likning (1) med 2, får du nøyaktig det samme som venstresiden i likning (2). Derimot blir ikke høyresidene like ved den samme multiplikasjonen. Her får vi en motsigelse. 4x+2y kan ikke både være 4 og 6. Av dette kan vi si at likningssettet ikke har en løsning.

 
  4x+2y=4
2 2x+y=3
  ----------------------------
  4x+2y=4
  4x2y=6
  ----------------------------
  0+0=2

Vi bruker eliminasjonsmetoden for å løse likningssettet. Her ser du også at likningssett har ingen løsninger.

 

I koordinatsystemet ser vi at grafene er to parallelle linjer. Disse to linjene vil aldri møtes. Likningssettet har ingen løsning.

Grafene er to parallelle linjer.

C) Nøyaktig en løsning

 

Eksempel:

(1) x+y=5

(2) 2xy=3

Likningene i likningssystemet er ikke mistenkelig like hverken på høyresiden eller på venstresiden av likhetstegnet. Når vi tegner grafene til likningene i et koordinatsystem, får vi to rette linjer som krysser hverandre i ett punkt (x1,y1). Dette er den entydige løsningen til dette likningssystemet. Her har vi valgt å løse likningen grafisk.

To rette linjer som krysser hverandre i ett punkt.

Publisert: 26.07.2013 Endret: 13.08.2013

Begrep

  • Graf

    En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

  • Kartesisk koordinatsystem

    Et rettvinklet koordinatsystem. Oppkalt etter Descartes som viste hvordan en med et koordinatsystem i planet kan representere kurver i planet som løsningsmengder til likninger i to variable.

  • Koordinatsystem

    Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

  • Likning

    En likning er et åpent utsagn der det inngår en ukjent størrelse. Den ukjente skriver vi ofte som x.
    x + 8 = 17

    er en likning.

  • Likningssystem

    Et likningssystem er to eller flere likninger som inneholder to eller flere ukjente.

  • Lineære likninger

    Likninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

  • Linje

    I den euklidiske geometrien er det en udefinert størrelse som er et uttrykk for forestillingen om en rett vei med ubegrenset utstrekning i begge retninger. I ikke-euklidisk geometri er linjebegrepet generalisert og disse innskrenkningene er fjernet.

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som å addere samme tall flere ganger. Ofte kalt "ganging". Et av tallene i multiplikasjonen forteller hvilket tall som skal adderes. Det andre tallet forteller hvor mange ganger det skal adderes.

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

  • Parallell

    To rette linjer i et plan er parallelle når de ikke skjærer hverandre. Avstanden mellom linjene er den samme uansett hvor på linjene du er.

    Vi har et eget tegn som forteller at to linjer er parallelle:
    m || n leses "linja m er parallell med linja l".

  • Punkt

    I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A, B.