www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Grafisk løsning av likningssett

Noen ganger kan det være lettere å løse et problem ved hjelp av en illustrasjon enn ved en algebraisk utregning. Vi skal se hvordan vi finner løsning til et likningssett ved hjelp av grafer.

Vi skal løse likningssettet:

 y6x=120(1)y=3x+150(2) 

Begge likningene (1) og (2) er førstegradslikninger og derfor rette linjer i koordinatsystemet. La oss nå se hvordan vi tegner disse rette linjer.

y skal stå alene på venstresiden.

Vi ønsker å få y alene på venstresiden av likhetstegnet. I likningssettet over er likning (2) på den ønskede formen. For å få y alene på venstresiden i likning (1), legger vi til 6x på begge sider av likningen.

 y6x+6x=120+6x 

 y=120+6x 

 y=6x+120 

Nå har vi begge likningene i likningssettet på den formen vi ønsker:

 y=6x+120   (1)y=3x+150   (2) 


Regn ut verdier og finn punkter.

Vi velger nå å finne flere ulike verdier for hver av likningene. Vi velger forskjellige verdier for x. Vi setter inn disse i likningen og regner ut tilhørende verdi av y. Dette gir oss tallpar på formen (x,y). Tallparene er punkter i koordinatsystemet. Strengt tatt trenger vi å finne kun to punkter siden disse bestemmer en linje. Men vi regner ut minst tre slik at vi er sikre på at vi har regnet riktig.

La oss nå regne ut verdier for våre to likninger.

y=6x+120(1)

Vi velger for 1,10 og 20 som x - verdier og regner ut:

61+120=6+120=126

610+120=60+120=180

620+120=120+120=240

Dette gir oss følgende oppsett:

x 1 10 20
y 126 180 240
(x,y) (1,126) (10,180) (20,240)

 

Vi gjør det samme for likning (2). Legg merke til at vi kan bruke de samme verdiene for x som over. Tabellen for likning (2) ser ut som

x 1 10 20
y 153 180 210
 (x,y) (1,153) (10,180) (20,210)


Plott linjene i et koordinatsystem.

Vi tegner nå punktene (x,y) i et koordinatsystem. Først markerer vi de tre punktene for likning (1) og trekker en rett linje gjennom disse. Dette kalles for grafen til likning (1). Vi gjør det samme med punktene for likning (2). Vi har nå to linjer i koordinatsystemet.

Grafen til likning (1). Alle tre punktene er merkert og en linje som går gjennom disse er tegnet inn. Graf til likning (2). Alle tre punktene er tegnet inn og en linje som går gjennom disse punktene. Grafene til likning (1) og (2).
Grafen til (1) Grafen til (2) Grafene til (1) og (2)



Finn skjæringspunkt.

Skjæringspunktet (10,180) er merkert.Skjæringspunktet er løsningen til likningssystemet. Vi ser at linjene skjærer hverandre i punktet (10,180), det vil si når x=10 og y=180. Dette leses av på henholdsvis x-aksen og y-aksen.

Husk at en løsning til et lineært system med to ukjente må ha som svar både en x-verdi og en y-verdi.

Publisert: 26.07.2013 Endret: 12.08.2013

Begrep

  • Akse

    Linje eller linjestykke knyttet til symmetri i geometriske figurer, eller en av linjene som spenner ut et koordinatsystem.

  • Graf

    En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

  • Koordinatsystem

    Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

  • Likhetstegn

    Likhetstegnet = forteller at det som står til venstre for likhetstegnet er akkurat like stort som det som står til høyre.

  • Likning

    En likning er et åpent utsagn der det inngår en ukjent størrelse. Den ukjente skriver vi ofte som x.
    x + 8 = 17

    er en likning.

  • Likningssystem

    Et likningssystem er to eller flere likninger som inneholder to eller flere ukjente.

  • Punkt

    I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A, B.

  • Skjæringspunkt

    Skjæringspunkt

    Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet lese av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

  • Tallpar

    Et tallpar skrives slik: (5,3)
    Tallparet beskriver plasseringen av et punkt i et koordinatsystem

  • x-akse

    x-akse

    Den horisontale aksen i et koordinatsystem. Kalles også førsteakse.

  • y-akse

    y-akse

    Den loddrette aksen i et koordinatsystem. Kalles også andreaksen.