Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Første kvadratsetning

Her skal vi se på en regel som hjelper oss å forkorte brøker, forenkle utrykk, og å løse likninger.

Første kvadratsetning beskriver hvordan vi kan skrive summen av to tall multiplisert med seg selv.

La oss regnet ut (a+b)2.

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 

Uten mellomregningen har vi at

(a+b)2=a2+2ab+b2

Dette kalles den første kvadratsetningen.

den første kvadratsetningen


(a+b)2=a2+2ab+b2

 

Eksempel

I eksempelet nå viser vi at likheten stemmer når vi bruker tall i stedet for a og b.

La a=5 og b=3. Da er

(a+b)2=(5+(3))2=(53)2=22=4 

a2+2ab+b2=52+25(3)+(3)2=2530+9=4 

Vi får samme resultat akkurat slik første kvadratsetningen sier vi skal!

Første kvadratsetning


Rettighetshaver: UiO /

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

En grunn til å kalle dette første kvadratsetning er at for positive tall a og b, tolkes (a+b)2 som arealet av et kvadrat med sidelengde a+b. Arealet til dette kvadratet kan vi finne på to måter. Først kan vi si at arealet av kvadratet er produktet av lengden og høyden,
(a+b)(a+b)=(a+b)2.

Men vi kan også få arealet av kvadratet ved å legge sammen arealene til det oransje kvadratet, det blå kvadratet og de to grønne rektanglene.

  • Areal av oransje kvadrat: aa=a2.
  • Areal av blå kvadrat: bb=b2
  • Areal av grønt rektangel: ab.

Legger vi sammen de fire arealene får vi

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

Begge uttrykkene,

(a+b)2

og

a2+2ab+b2,

står for det samme arealet og derfor er (a+b)2=a2+2ab+b2. Men dette er jo første kvadratsetning!

Del på Facebook

Del på Facebook

Begrep

  • Areal

    Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
    Noen måleenheter for areal er m2, dm2 og cm2.

  • Rektangel

    Rektangel

    Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.


    Areal: A=ab

    Omkrets: O=2a+2b

Hopp over bunnteksten