www.matematikk.org

Følger og rekker

Dette lynkurset omhandler to svært sentrale konsepter i matematikken: følger og rekker. En følge er en sekvens av objekter i en bestemt rekkefølge:

a1,a2,....


I dette kurset vil vi være interessert i tallfølger, hvor hver ai er et tall. Tallfølger dukker stadig opp både i matematikken og verden ellers, og det er dermed er det nyttig å kunne finne formler for et vilkårlig ledd i følgen: om vi vet at det finnes en sammenheng mellom et ledd og det forrige i en følge, kan vi da finne formler som tillater oss å finne vilkårlige ledd i følgen? I dette kurset vil vi se på to slike følger, nemlig aritmetiske og geometriske følger.

I en geometrisk følge er forskjellen på et ledd og det forrige en faktor k:

ai=kai-1.


Om vi vet at prisen på en matvare øker med en faktor på 1,10 årlig, hva er da prisen om 10 år? For slike spørsmål er kunnskap om geometriske følger nyttig.

Om vi er gitt en følge, kan vi summere elementene og få en rekke:

a1+a2+...


En endelig rekke har endelig mange ledd, og vi skriver gjerne sn for en endelig rekke:

sn=a1+...+an=i=1nai.


Her dukker den samme problemstillingen opp: kan vi finne formler for sn? Vi skal se nærmere på aritmetiske og geometriske rekker. Til slutt skal vi se på uendelige rekker; kan vi summere uendelig mange tall og få et endelig tall tilbake? Svaret er ja, og slike rekker kalles konvergente. Et av de mest kjente uløste problemene i matematikken angår nullpunktene til funksjonen gitt ved den uendelige rekken

ζs=n=11ns.