www.matematikk.org

Likning med x i nevneren - ingen løsning

Spørsmål:

Ida, 17

Hei! Hvordan løser jeg følgende likning:

11x+1x=2x1x(1x)

Jeg får ikke til å sette likningen i brøkform.

Svar:

Hei, Ida!

Dette er en likning der den ukjente x er i nevneren. Målet er å omforme uttrykket slik at det står én brøk på den ene siden av likningen og 0 på den andre siden. Vi vet jo at en brøk er lik 0 hvis og bare hvis telleren er lik 0. Løsningen får vi ved å sette telleren lik 0.

Hvis telleren og nevneren i brøken har felles faktorer, kan noen av løsningene være ugyldige (det vil si de gjør at også nevneren blir 0). Sjekk at alle løsningene dine er gyldige!

I denne likningen er ikke alle ledd med den ukjente på den venstre siden, så du kan først sørge for å få 0 på den høyre siden. I tillegg har vi TRE brøker og derfor må vi trekke disse sammen før vi kan se på hvilke x gir teller lik 0. Men for å kunne trekke sammen flere brøker, må de ha samme nevner.

1) Vi vil ha 0 på høyre side av likningen.

11x+1x2x1x(1x)=0

2) Finn fellesnevneren - her er det alltid lurt å sjekke om ikke allerede én av nevnere er fellesnevneren. Vi ser på de tre nevnerne

x

1x

x(1x)

Hva ser du? Jo, dette siste uttrykket er jo produktet av de to andre nevnere og dermed har vix(1x) som fellesnevneren.

3) Utvid brøkene slik at alle har fellesnevneren som nevner. Her må du huske at alt du gjør i nevneren, må også gjøres i telleren:

x1x(1x)+1(1x)x(1x)2x1x(1x)=0

Det vi har gjort her, er å finne ut hva brøken må multipliseres med for at det skal bli fellesnevner i nevneren. Den samme faktoren multipliserer vi da brøkens teller med. Den siste brøken har allerede fellesnevneren som nevner og dermed gjør vi ikke noe med den.

Nå kan du ha tellere på felles brøkstrek,

x+1x2x+1x(1x)=0

22xx(1x)=0

Nå kan vi se på hvilke verdier av x som gjør at telleren blir lik 0,

22x=0

Dette er førstegradslikning som du løser og finner at x = 1 er løsningen. Men er dette en gyldig løsning? Sett inn x = 1 i nevneren og se hva du får.

Merknad:
Hvis du hadde faktorisert telleren, ville du ha fått

2(1x)x(1x)=0

og sett med det samme at du har en fellesfaktor i telleren og nevneren og derfor kan ikke x = 1 være en gyldig løsning.

Lykke til!

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 28.04.2010