www.matematikk.org

Kuleformet akvarium fylles med vann

Spørsmål:

Knut Einar, 19

Her er en oppgave jeg lurer på om dere kan hjelpe meg med: Et kuleformet akvarium med radius 30 cm fylles med vann, 50cm3 pr. sekund. Hvor hurtig stiger vannet i akvariet ved det tidspunkt da vanndybden (midt i akvariet) er 10 cm?

Svar:

Hei, Knut Einar!

 

Det finnes en egen formel for volumet av et kulesegment (det skraverte området på bildet).

V(x)=πx2(Rx3)

En sirkel med radius 30 cm i et koordinatsystem med aksene r og x der  x= 10 cm er skravert.

Løsningsforslag:
(går på bruk av kjerneregel)

Vi vet at endringen av vannmengden inne i akvariet 

ΔVΔt

er oppgitt 50 cm3/s.

Slik jeg forstår oppgaven skal vi finne 

ΔxΔt

(ved x = 10 cm)

Vi kan sette opp følgende

 ΔVΔt=ΔVΔxΔxΔt

ΔxΔt=ΔVΔtΔVΔx=50 cm3/sV(x=10)=1 cm3/s10π cm20,032 cm/s

Jeg har utelatt noen mellomregninger som jeg anbefaler at du ser på selv, og så er det en ting til; - den deriverte av en funksjon gir deg alltid endringen av det du ser på i utgangspunktet (med hensyn på det du har som variabel).

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 26.03.2010