www.matematikk.org

Areal av regulær 6-kant innskrevet i sirkel

Spørsmål:

Kristian, 16

Oppgave: Finn arealet til en 6-kant som er innskrevet i en sirkel med radius på 6 cm. Jeg skjønner ikke hvordan man skal løse denne oppgaven. Kan du hjelpe meg?

Svar:

Hei, Kristian!

Tenk at sirkelen har en strukket strikk rundt seg. Ta vekk sirkelen, men hold seks punkter på den fast. Da vil strikken stramme seg til seks rette linjer, og du får en konveks sekskant. Det er ubegrenset mange av disse, og hvis vi vil kan vi finne slike med vilkårlig lite areal, så oppgaven som formulert har mange svar.

En regulær sekskant innskrevet i en sirkel.

En overkommelig oppgave, som nok er det som menes her, er å finne arealet av en regulær sekskant innskrevet i sirkelen, se figuren. Den regulære sekskanten er altså seks likesidede trekanter med side 6 cm (Siden de da har side lik radiusen). Arealet til en trekant der vi kjenner en vinkelα og de to tilhørende vinkelbeina a og b er

A=absin(α)2.

(Det er dette som kalles sinussetningen).

Vår sekskant består av seks trekanter med dette arealet, så (Vi dropper benevningen i utregningen):

Areal=6A=6absin(α)2=666sin(60º)2=666322=54394.

Med benevning får vi da at arealet er omtrent 94cm2. Alle de ikke-regulære sekskantene vi kunne innskrevet i sirkelen ville hatt mindre areal, så denne er altså den største.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 18.03.2010