www.matematikk.org

Magiske tall (tverrsum 9)

Spørsmål:

Tone, 29

Har en oppgave med magiske tall. Den går ut på at jeg skal tenke på et tosifret tall, snu sifrene og trekke det minste fra det største. Så skal jeg legge sammen sifrene i resultatet, og får da 9 til svar, uansett hvilke tosifrede tall jeg prøver. Hvorfor er det sånn?

Svar:

Hei, Tone!

Dette er fordi 9 er i særstilling i 10-tallssystemet. Et tosifret tall med sifrene a og b kan du skrive som

10a+b

der a og b er blant {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Snur du sifrene og trekker fra, slik du beskriver, blir det:

10a+b(10b+a)=9a9b=9(ab)

så du havner i 9-gangen. Tall i 9-gangen har tverrsum 9 (se i høyre spalte under "Se også"). 

Vi forklarer dette fenomenet. Du kan alltid trekke fra 9-ere fra en potens av 10 og ende opp med tallet 1,

1009m=1, m = 11

Dette er fordi 10 har rest 1 når du deler på 9. Et vilkårlig tall kan vi skrive

iai10i

(Dette er 10-tallssystemet). Et tall i 9-gangen kan vi skrive som

9k der k heltall.

9k=iai10i

er da to måter å skrive et tall i 9-gangen på. Vi tar rest under deling på 9 på begge sider. Resten på venstre side blir 0, så det går opp.

Resten må være den samme på begge sider, så resten når du deler på 9 aviai10i = rest når du deler på 9 aviai  (vi erstatter 10i med 1), altså resten av tverrsummen når du deler på 9. Tar du tverrsum av tverrsum helt til du kommer ned til et ensifret tall, må dette tallet bli 9. Men det var bare to sifre så tverrsummen blir 9 i første steg.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 17.03.2010