www.matematikk.org

Første kvadratsetning

Spørsmål:

Tom Erik, 16

Hei!

Jeg forstår ikke hvorfor(a+b)2=a2+2ab+b2...

Svar:

Hei, Tom Erik!

Den første kvadratsetningen kan vi forklare ved å ta en titt på arealet av et kvadrat.

Tegn et kvadrat med sidelengde (a + b) Et kvadrat der sidene er delt i lengden a og lengden b slik at sidelengden i kvadratet er (a+b)
  Kvadratet med sidelengde (a+b) har areal lik (a+b) opphøyd i 2

 Arealet til dette kvadratet finner vi ved å multiplisere lengden på sidene med hverandre. Begge sidene er a + b slik at arealet er lik

(a+b)(a+b)=(a+b)2

Deretter deler du opp kvadratet på følgende måte Kvadratet delt opp slik at det består av et kvadrat med sidelengde a, et kvadrat med sidelengde b og to rektangler med sidelengder a og b

Det store kvadratet har vi delt opp i to rektangler og to mindre kvadrater.

To rektangler med sidelengder a og b Kvadrat med sidelengde b Kvadrat med sidelengde a
To rektangler med
sidelengder a og b

Kvadrat med
sidelengde b

Kvadrat med
sidelengde a

Finn arealet til kvadratene og rektangelene i det store kvadratet. Den generelle formelen for arealet til en rektangel er lengden multiplisert med bredden. Dette gir oss følgende arealer

Arealene til rektanglene er ab. Arealet til det lille kvadratet er b opphøyd i 2 og arealet til det store kvadratet er a opphøyd i 2.

Summen av alle arealene er arealet av det store kvadratet (med sidelengde ( a + b)),

a2+2ab+b2

Men vi har alleredet funnet ut at arealet til dette kvadratet er likt

(a+b)2

Dette betyr at de to uttrykkene er like og vi har at

(a+b)2=a2+2ab+b2

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010