www.matematikk.org

Andre kvadratsetning

Spørsmål:

Kari, 17

Hei!

Jeg forstår ikke hvorfor den andre kvadratsetningen er a-b2=a2-2ab+b2 . Kan du forklare dette for meg?

Svar:

Hei, Kari!

For å forstå hvorfor den andre kvadratsetningen er slik den er, skal vi se på arealet til et kvadrat med sidelengde a.

Et kvadrat med sidelengde a og da arealet er a multiplisert med a, altså a i andre 1) Se på et kvadrat med sidelengde a. Arealet av et vilkårlig kvadrat er sidelengde multiplisert med sidelengde. Dette gir oss arealet lik a2.
2) Del opp kvadratet på samme måte som det er vist på bildet - sidelengden av det minste kvadratet er b og det gir at sidelengden til det større kvadratet (1) er a-b. Kvadratet deles opp i to mindre kvadrater (1 og 4) og to rektangler (2 og 3). Det største kvadratet 1 har sidelengde (a-b) og det minste har sidelengde b. Rektanglene er like og har sidelendene (a-b) og b.
Arealet av kvadratet med sidelengde (a-b)

3) Arealet av kvadratet (1) med sidelengder a-b er

(ab)(ab)=(ab)2


Nå er det to alternative måte å fortsette beviset for andre kvadratsetningen.

ALTERNATIV 1:

a) Aarealet av kvadrat (1) er det samme som å trekke fra det største kvadratet (med sidelengde a) arealet av rektanglene (2 og 3) og det lille kvadratet (4).

b) Finn areal av rektangel (2), rektangel (3) og kvadrat (4).
Arealet til rektangel 2 som har sidelengder b og (a-b) Arealet av et rektangel med sidelengder a og b Arealet av kvadratet 4 med sidelengde b

Areal av rektangel (2)

b(ab)

Areal av rektangel (3)

b(ab)

Arealet av kvadrat (4)

bb


c) Areal av kvadrat (1) er

a2b(ab)b(ab)bb=

a2ab+b2ab+b2b2=

a22ab+b2

Under 3) fant vi at kvadrat (1) har areal

(ab)2

Dette betyr at disse utrykkene må være like og vi har at

(ab)2=a22ab+b2

ALTERNATIV 2:

Arealet av kvadrat (1) fås ved å dele opp det størte kvadratet (med side lengde a) i et stort kvadrat (1) og to rektangler.
Arealet av rektangelet med sidelengder b og a Arealet av rektangelet med sidelengder b og (a-b) Begge rektanglene overlapper og det lille kvadratet utgjør overlappen

Areal av rektangel (2)

ab

Areal av rektangel (3)

ab

Areal av kvadratet (4)

bb

d) Arealet av kvadratet (1) er det samme som å trekke fra det største kvadratet (med sidelengde a) arealet av disse to rektangler, men husk å legge til arelaet av det lille kvadratet (innringet område på bildet).
Grunnen til dette er at det lille kvadratet er en del av begge rektanglene og når vi trekker fra areal av rektanglene, vil vi trekke fra dette arealet to ganger i stedet for én.

e) Arealet av kvadratet (1) er

a2abab+b2=

a22ab+b2

I følge 3) har kvadrat (1) areal lik a-b2, og i foregående punkt fikk vi et annet uttrykk for arealet på det samme kvadratet. Dette betyr at disse utrykkene må være like og vi har at

(ab)2=a22ab+b2

(ab)2=a22ab+b2

(ab)2=a22ab+b2

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010