www.matematikk.org

Tredje kvadratsetning (konjugatsetningen)

Spørsmål:

Lara, 16

Hei!

Jeg lurer på hvordan jeg kan vise at tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) stemmer. Kan du hjelpe meg?

Svar:

Hei, Lara!

Konjugatsetningen sier at

(a+b)(ab)=a2b2

Vi skal nå vise at arealet av et rektangel med sidelengder a+b  og a-b er det samme som differansen av arealet av kvadratet med sidelengde a og arealet av kvadratet med sidelengde b

= Kvadrat med sidelengde a - Kvadrat med sidelengde b

 Tegn et kvadrat med sidelengde a. Del kvadratet i to rektangler.

Kvadratet med sidelengde a deles i to rektangler; et rektangel har sidelengder (a-b) og a, mens det andre har a og b.

Rektangel (1) har sidelengde a og b, mens rektangel (2) har sidelengder a og a-b. Forestille deg nå at du klipper av rektangelet (1).

Klipper av det øverste rektangelet (1)

Rektangelet (1) snus og legges nå ved siden av rektangel (2) som vist på bildene under. Forestill deg nå at vi syr sammen disse to rektanglene.

Syr sammen rektanglene der rektangel (1) blir sydd på stående på høyre side av rektangel (2)- Nå er rektangel (1) ferdigsydd på rektangel (2).
Rektangel (1) ved siden av rektangel (2)

Nederste siden er (a + b) lang.

For å få et rektangel med sidelengder a+b og a-b, må vi fjerne kvadrat (3) med sidelengder b.

Rektangel med sidelengder (a-b) og (a+b)
Kvadrat (3) med sidelengde b Rektangel med sidelengder (a - b)
og (a + b)

 

Arealet av rektangelet med sidelengene a-b og a+b  er lik arealet av kvadratet med sidelengde a minus arealet av kvadratet med sidelengde b. Men da har vi vist at

(ab)(a+b)=a2b2

 

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010