www.matematikk.org

Høyden til stigen

Spørsmål:

Rino, 24

 

[INLINEOBJECT]

En kasse på 1x1 meter står inntil en vegg, og en stige på 10 meter står lent inntil veggen slik at den berører kassens øvre hjørne. Hvor langt opp på veggen når stigen?

Svar:

Hei, Rino!

 

Først tegner vi en figur og markerer de kjente størrelsene:

En trekant der høyden er del i 1 meter (fra kassens høyde) og y fra toppen av kassen til stedet stigen lener seg mot veggen og nede på bakken er stigen 1 meter (fra kassens bredde) og x fra kassen til der stigen står på bakken. En trekant der den lengste kateten er y +1 og den korte er x + 1

 

Vi ser at vi har en stor rettvinklet trekant der der den ene kateten er 1+x meter lang. Den andre kateten er 1+y meter, mens hypotenusen er 10 meter. Nå kan vi bruke Pytagoras' læresetning og sette opp regnestykket:

(1)   (x+1)2+(y+1)2=102

Vi kan se på figuren en gang til og finne to formlike trekanter.

Trekanten som dannes av kassens topp(lokk), stigen og veggen er en trekant og den andre trekanten er det lille glippet mellom kassen og stigen (helt nede mot bakken) - kassens høyde, stigen og den korte avstanden mellom kassen og stigen nede på bakken.

Den største trekanten har kateter y og 1, mens den minste har 1 og x. Ved å bruke formlikheten av disse, kan vi sette opp en likning til:

1y=x1

Vi skriver uttrykket om og får

(2)  x=1y

Nå har vi to likninger med to ukjente som vi kan løse ved hjelp av substitusjonsmetoden (innsettingsmetoden), sett inn for x i likning (1) uttrykket fra likning (2):

(1y+1)2+(y+1)2=102

(1y)2+21y+12+y2+2y+12=100

y2+2+1y2+2y+2y100=0

(y+1y)2+2(y+1y)102=0

Nå lar vi

z=y+1y

og vi får en annengradslikning med z som den ukjente:

z2+2z100=0

Vi bruker løsningsformelen for andregradsllikning og får at

z=2±4+4002

undefined0

Siden vi er ute etter lengder, trenger vi kun bry oss om den positive verdien til z, dvs. 

z=1+101

Husk at

z=y+1y

slik at vi har en likning med den ukjente y

y+1y=1+101

y2+(1101)y+1=0

Dette er en andregradslikning med den ukjente y. Vi bruker løsningsformelen for andregradslikninger og får følgende to løsninger:

y1=(1+101)+(982101)28,938

y2=(1+101)(982101)20,112

Husk at

x=1y

slik at vi får to løsninger for x,

x1=1y1,x2=1y2.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010