www.matematikk.org

Tre måter å løse en andregradslikninger

Spørsmål:

Jone, 25

Hvordan skal jeg gå fram for å finne eventuelle løsninger uten å bruke abc-formelen på:

x24x5=0

Svar:

Hei, Jone!

Her finnes det flere fremgangsmåter der ingen av disse involverer abc-formelen. En av måtene er å tegne grafen til 

y=x24x5

og se hvilke verdier av x som gir y=0.

Det finnes også to alternative algebraiske løsninger, og det er disse vi nå skal se på.

Alternativ 1:

  • Bruk samme metode som ved polynomdivisjon.

    Gjett på en x-verdi som kan gi 0 som svar. Her er det veldig enkelt, for x=-1 gir 0. Dette betyr at (x(1))=(x+1) er en faktor.
  • Utfør polynomdivisjonen:

    x24x5:(x+1)=x5

    slik at

    x24x5=(x+1)(x5)

  • Finn ut når dette uttrykket er likt 0.

    Det skjer hver gang en av faktorene (uttykkene i parentesen) er like 0. Dette gir oss 
    x=-1
    eller x=5.

Alternativ 2:

    • Utvid likningen og bruk kvadratsetningene

      x24x5=0
      x24x=5

    • Utvid likningen.
      Legg 4 til på begge sider av likhetstegnet,

      x24x+4=5+4

    • Faktoriser venstre side av likningen ved å bruke andre kvadratsetning,

      a22ab+b2=(a+b)(ab)
      x222x+22=5+4
      (x2)2=9
      (x2)232=0

    • Her kjenner vi igjen den tredje kvadratsetningen, konjugatsetningen,

      a2b2=(ab)(a+b)
      ((x2)3)((x2)+3)=0
      x-5x+1=0

Også her ser du at x=5 eller x=-1 oppfyller likningen.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010