www.matematikk.org

Med x i nevneren

Spørsmål:

Tom, 17

Hvordan løser man denne:52x10x+10x225=0?

Svar:

Hei, Tom!

Dette er en likning der den ukjente x er i nevneren. Målet er å omforme uttrykket slik at det står én brøk på den ene siden av likningen og 0 på den andre siden. Vi vet jo at en brøk er lik 0 hvis og bare hvis telleren er lik 0. Løsningen får vi ved å sette telleren lik 0.

Hvis telleren og nevneren i brøken har fellesfaktorer, kan noen av løsningene være ugyldig (det vil si de gjør at også nevneren blir 0). Sjekk at alle løsningene dine er gyldige!

I denne likningen er alle ledd med den ukjente på den venstre siden og 0 er på den høyre, men vi har TO brøker og derfor må vi trekke disse sammen før vi kan se på hvilke x gir teller lik 0.

1) Faktoriser utrykkene som står i nevnere i brøkene:

 2x10=2(x5) 

 x225=(x5)(x+5) 

 x225 er faktorisert hjelp av den tredje kvadratsetningen eller Konjugatsetningen

Erstatter vi nevnere med de faktoriserte uttrykkene, ser likningen ut som dette:

 52(x5)x+10(x5)(x+5)=0 

2) Finn fellesnevneren.

Faktorene i de to nevnere er:

 2,x5,x+5 

Vi ser at (x - 5) er en faktor i begge nevnere, og dette betyr at dette er en faktor vi trenger å ha med kun én gang og så må vi ha med ha med alle andre faktorene. Fellesnevneren er

2(x5)(x+5)

3) Utvid brøkene - husk at både telleren og nevneren skal multipliseres med samme faktor.

(x + 5) er faktoren som mangler i nevneren i den første brøken (for å ha fellesnevneren):

5(x+5)2(x5)(x+5)

Faktoren som nevneren og telleren i den andre brøken skal multipliseres med er 2:

(x+10)2(x5)(x+5)2

Likningen ser nå ut som 

5(x+5)2(x5)(x+5)2(x+10)2(x5)(x+5)=0

4) Trekk brøkene sammen (fellesbrøkstrek):

5(x+5)2(x+10)2(x5)(x+5)=0

5) Nå har vi at en brøk (venstre side) er lik 0 (høyre side). En brøk er lik 0 hvis og bare hvis telleren er lik null, så derfor setter vi uttrykket i telleren lik 0:

5(x+5)2(x+10)=0

6) Løs førstegradslikningen.

3x+5=0

x=53

Svar: x=53

Fordi vi valgte den minste fellesnevneren, har vi sørget for at telleren og nevneren ikke har felles faktorer. Brøken kunne ikke forkortes ytterligere, og løsningen vi har fått er gyldig (gir kun telleren 0 og ikke nevneren).

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010