www.matematikk.org

Tall-lek med 1089

Spørsmål:

Gunn, 15

Hvis du tar et tresifret tall (321) og snur dette (123) og trekker det fra det første tallet får du 198. Hvis du så snur dette tallet (891) og legger det til summen fra de to første (198) blir svaret 1089. Denne summen blir den samme uansett hvilke tall du bruker... Hvorfor? Er det mulig å gi noen forklaring på dette?

Svar:

Hei, Gunn!

Vi begynner med å repetere noe du sikkert vet. Når vi skriver et tresifret tall som 321 betyr jo det egentlig

3100+210+11

Et vilkårlig tresifret tall abc hvor a, b, c er hele tall mellom 0 og 9, kan vi da skrive som

a100+b10+c1

Dersom vi snur på rekkefølgen på sifrene, gjør vi da tallet om til 

c100+b10+a1

Nå skal vi fortsette slik du beskriver det, men vi antar at a er større enn c slik at vi får et positivt svar når vi trekker tallene fra hverandre og at differansen mellom a og c er større enn 1 (se NB nederst).

2) Vi trekker nå tallene fra hverandre.

a100+b10+c1(c100+b10+a1)=(ac)100+010+(ca)1

3) Vår antagelse om at a er større enn c gjør at sifferet på enerplass, (ca), vil være negativt. Sifrene i et tall må være mellom 0 og 9 slik at vi må låne og siden det er 0 på tierplassen, må vi låne fra hundrerplassen. Det vil si at sifferet (ac) blir en mindre, altså (ac1). Denne hundreren gjør vi om til 9 tiere og 10 enere. På enerplassen blir sifferet da (10+ca) og hele tallet skrives på følgende måte

(ac1)100+910+(10+ca)1

4) Nå snur vi på dette tallet og får

(10+ca)100+910+(ac1)1

Så legger vi tallene sammen

(ac1)100+910+(10+ca)1+(10+ca)100+910+(ac1)1=

(ac1+10+ca)100+1810+(10+ca+ac1)1=

9100+1810+9=1089

Siden alle a-ene, b-ene og c-ene forsvant, vil dette gjelde for alle valg av abc og derfor for alle tresifrede tall. Det var jo nettopp det vi skulle vise!

NB! Legg merke til at hvis a-c-1=0, altså a-c=1 eller sifferet på hundrerplassen er 1 større enn sifferet på enerplassen, så vil du få 99 i stedet for 198. Dette gjelder for eksempel 887, 322 og liknende tall. Legg merke til at dersom vi nå snur dette tallet (99) og legger til differansen som var 99, vil vi få 198. Dersom vi gjør det samme med 198 (legger til 891), vil vi få 1089. 

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010