www.matematikk.org

n^2 + 89 blir et kvadrattall

Spørsmål:

Vibeke, 35

Hei!

Kan du hjelpe meg med denne?

La n være et positivt, helt tall.
a) Vis at det bare fins én verdi av n slik at n2+89 blir et kvadrattall.
b) Finn denne verdien av n.

Svar:

Hei, Vibeke!

Differensen mellom to påfølgende kvadrattall er et oddetall og det øker med 2 fra differense til differense, 41=3,94=5,169=7, osv. hvor  312=1,512=2,712=3, osv.

Det betyr at i ditt tilfelle, hvor du leter etter to kvadrattall med differense 89, så er størst mulig verdi av det største tallet halvparten av 89-1, dvs. 44, pluss 1, altså 45. Så vi trenger altså bare å sjekke opp til 452 og vi får at differansen mellom 452 og 442 er 89.

Anta nå at n2+89 er et kvadrattall. Vi skriver det som (n+k)2=n2+89. Det betyr at vi leter etter et helt positivt tall k slik at 2kn+k2=89. Det betyr 2kn+k2=k(2n+k)=89. Men siden 89 er et primtall, må k=1, som vi allerede har sett på. Dermed har vi kun en mulighet, som var akkurat det vi skulle vise.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010 Endret: 28.05.2014