www.matematikk.org

Hva kan Pascals trekant brukes til?

Spørsmål:

Gunhild, 45

Hva kan Pascals talltrekant brukes til?

Svar:

Hei, Gunhild!

De to vanligste bruksområdene er å finne koeffisientene i eksponenter av (x+y), for eksempel (x+y)12, og for å finne ut hvor mange utvalg man kan gjøre av k objekter fra n objekter.

I eksemplene under skal vi nummerere linjene i Pascals trekant fra 0. Den første linjen, altså det enslige ett-tallet på toppen, er linje 0, den neste linjen (1,1) er linje 1 og så videre. Vi gjør tilsvarende med tallene i hver linje, så for eksempel i linje 2, der tallene er (1,2,1), er 1 tall nummer 0, 2 tall nummer 1 og 1 tall nummer 2.

 

1) Koeffisienter: Vi starter med et uttrykk på formen (x+y)n og ønsker å løse opp parentesen. Som et enkelt eksempel kan vi se på (x+y)2=x2+2xy+y2. Koeffisientene i dette uttrykket er 1, 2 og 1 (Hvor 1 er fra 1x2, 2 er fra 2xy, og det siste 1-tallet er fra 1y2). Generelt viser det seg at koeffisientene i slike uttrykk kan finnes som en linje i Pascals trekant - som nevnt over er 1, 2, 1 linje 2 i Pascals trekant. Generelt finner vi koeffisientene på linje n.

Vi tar et eksempel til:(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3. Vi ser at koeffisientene er 1, 3, 3, 1, som også er linje 3 i Pascals trekant.

 

2) Utvalg: Her er problemstillingen at du har n objekter og ønsker å trekke ut k av dem. Hvor mange måter kan du gjøre dette på? Et enkelt eksempel: I en konfekteske er det bare igjen fem forskjellige biter. Du unner deg to biter etter middag.På hvor mange måter kan du ta to biter fra de fem bitene i esken? Svaret finner du direkte i Pascals trekant på linje 5 tall 2, du kan trekke de to bitene på 10 måter.(Husk å starte på 0 når du teller linjer og tall).

Litt mer omfattende er sannsynligheten for å vinne i Lotto. Du skal velge 7 tall mellom 1 og 34, hva er sannsynligheten for at trekkemaskinen på Hamar velger de samme? Vel, hvor mange måter kan man trekke ut 7 tall fra 34? Om du tegner opp en stor  trekant finner du svaret på linje 34, tall 7. Der står det 5379616. Sannsynligheten blir da 15379616.

 

Tallene i Pascals trekant kan finnes ved en formel. Om vi ser etter tall k på linje n , som ofte skrives (nk), kan vi finne det ved å regne ut (nk)=n!k!(nk)!. Disse tallene kalles binomialkoeffisienter. Binomialkoeffisientene går igjen i en rekke matematiske og statistiske formler, for eksempel i binomialfordelingen, som brukes i statistikk. Om du vil vite mer om bruken av Pascals trekant kan du låne boken "Talldjevelen" av Hans Magnus Enzensberger på biblioteket. I boka viser talldjevelen mange ulike anvendelser av tallene i Pascals trekant. Du kan også ta en titt her for mer om Pascals trekant.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010 Endret: 28.04.2015