www.matematikk.org

Sannsynlighet i håndballturnering

Spørsmål:

Kai, 40

16 fotballag fra samme avdeling melder seg på en cup. Inkludert disse 16 lagene består cupen av 128 lag. Det foretas så en tilfeldig trekning av kamper til 1. runde (dvs 64 kamper), der alle kan møte alle. Hvor stor sannsynlighet er det for at 4 (av de 16 lagene) møter hverandre (altså 2 "interne" kamper)?

Svar:

Hei, Kai!

Dette var ikke lett.... For å gjøre det litt lettere å snakke om sier jeg at de 16 lagene fra samme avdeling er fra Norge, og de andre er fra andre land. Da blir spørsmålet hva sannsynligheten er for nøyaktig to kamper mellom norske lag i første runde. Vi må altså finne ut antall mulige måter de 64 kampene kan spilles på, og hvor mange av disse som er gunstige for hendelsen at nøyaktig to kamper er mellom norske lag.

Vi velger å sette kampene i en rekkefølge, sånn at vi skiller mellom kamp 1, kamp 2, og så videre, men vi bryr oss ikke om  hjemme- og bortelag i en kamp.  Antall måter de 64 kampene kan spilles på er da

(1282)(1262)...(42)(22)=128!264.

For å finne antall kampoppsett der norske lag spiller mot hverandre i nøyaktig to kamper, ser vi først på situasjonen der norske lag spiller mot hverandre i de to første kampene, mens det er ett norsk og ett utenlandsk lag i kampene 3-14. Da kan vi velge lag til de to første kampene på

(162)(142)=16!2!2!12!

måter. Videre kan vi velge lag til kampene 3-14 på

(12112)(11111)...(1101)=12!112!100!

måter, og vi kan velge lagene til de 50 siste kampene på

(1002)(982)...(42)(22)=100!250

måter. For å finne antall kampoppsett der norske lag spiller mot hverandre i nøyaktig to kamper, og et norsk lag spiller mot et utenlandsk lag i 12 kamper, må vi ta hensyn til hvor mange måter disse 2 + 12 kampene kan velges ut på. Det kan gjøres på

(642)(6212)=64!2!12!50!

måter. Antall kampoppsett der to norske lag spiller mot hverandre i nøyaktig to kamper blir dermed

16!2!2!12!12!112!100!100!25064!2!12!50!=16!112!64!2522!12!50!.

Med dette i hende kan vi finne sannsynligheten for at norske lag spiller mot hverandre i nøyaktig to kamper som

16!112!64!2522!12!50!128!264.

Siden fakultetfunksjonen vokser så fort kan vi ikke taste inn direkte etter dette uttrykket for å få et tallsvar. For å få det, må vi gjøre passende forkortelser. Da er det hensiktsmessig å innføre størrelsenePnr=n!(nr)!, som er innebygde i mange lommeregnere og dataprogrammer. Skrevet på denne måten kan vi regne ut at sannsynligheten blir

211P164P6414P12816=0.191.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010 Endret: 30.06.2012