www.matematikk.org

Tall som mangler i den lille gangetabellen

Spørsmål:

Nancy, 11

Hvilke tall mindre enn 100 er ikke svar i den lille gangetabellen?

Svar:

Hei, Nancy!

Først må jeg si at dette var et usedvanlig godt spørsmål!

Svaret kan det være lurt å lese sammen med læreren din. Det er 100 tall i den lille gangetabellen, men mange av dem er like. Mange gjentakelser kommer av slikt som at 54=4563=36. De ti kvadratene 11,22 opp til 1010 skiller seg ut, og gjør at det høyst kan være 100102+10=55  forskjellige tall. I tillegg er for eksempel 18=29=36, som ikke er et symmetrisk gangestykke som de nevnt over.

For å gjøre det enkelt kan vi liste opp alle tallene i den lille gangetabellen og telle opp, da finner vi ut at det er 42 forskjellige tall i den. Det vil si at blant de hundre første tallene er det 58 tall som ikke er svar i den lille gangetabellen. Vi ser på 11 som et eksempel, det er et primtall, altså kan det ikke skrives som produktet av to andre tall. For å få 11 som svar i den lille gangetabellen må det finnes to tall mindre enn 10 som ganges sammen til 11, men da hadde ikke 11 vært et primtall. På samme måte kan ingen tall som er kjente primtall være svar i den lille gangetabellen. Primtallene mellom 11 og 100 er:

11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 og 97.

Videre vil tall bygget fra disse og tallene 1 til 10 med produkt mindre enn 100, heller ikke komme fra den lille gangetabellen, så nå kan vi liste opp alle de som kommer fra primtallene:

11noe: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99;

13noe: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91;

17noe: 17, 34, 51, 68, 85;

19noe: 19, 38, 57, 76, 95;

23noe: 23, 46, 69, 92;

29noe: 29, 58, 87;

31noe: 31, 62, 93;

37noe: 37, 74;

41noe: 41, 82;

43noe: 43, 86;

47noe: 47, 94;

og resten av primtallene igjen: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 og 97.

Det er noen få tall til som ikke kommer som svar i den lille gangetabellen, hvis du teller over ser du at vi bare har listet opp 54 tall, og vi skulle jo ha 58. De fire siste bygges fra primtallene mindre enn 10 (2,3,5 og 7), og er litt vanskeligere å finne. De er:

75=355,84=2237,96=222223 og 98=277.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010