www.matematikk.org

Geometrisk tolkning av likningssystem i 3 variable

Spørsmål:

Jon Øivind, 25

Hvordan løser jeg dette likningssettet med tre ukjente, grafisk?

2xy+z=8

x+2yz=5

x+5y2z=15

Min kalkulator lar meg ikke utføre operasjonen. Jeg greier imidlertid å løse likningen både ved hjelp av addisjonsmetoden og innsettingsmetoden. Noe sier meg at likningen vil være 3-dimensjonal, stemmer dette?

Svar:

Hei, Jon Øivind!

Ja, nå er vi i tre dimensjoner. Du har tre variable:xy ogz, som gir deg koordinater for 3-rommet. Ligningene dine gir deg tre plan i dette rommet. Generelt når du har tre plan i rommet er det følgende muligheter:

  • Alle tre kan falle sammen; Da er alle punktene i planet løsninger.
  • To av dem kan falle sammen, og det tredje kan være parallelt, eller alle tre kan være parallelle, to parallelle plan kan snitte ett i to linjer, de tre planene kan snitte parvis i tre parallelle linjer; For alle disse mulighetene har vi ingen løsninger.
  • To plan kan falle sammen og det tredje snitte dem i en linje, eller alle tre kan møtes i en linje; Da er alle punktene på snittlinjen løsninger.
  • Det tredje planet kan snitte snittlinjen fra to plan i ett punkt; Da har systemet én løsning.

Det vanligste er det siste. Planene dine har normalvektorene[2,1,1],[1,2,1] og[1,5,2]. Disse er lineært uavhengige, for determinanten til matrisen de danner er ikke null. Konkret vil lineær uavhengighet her si at ingen av planene er parallelle eller faller sammen, for det ville svart til at noen av normalvektorene pekte i samme retning. Det betyr at vi er i det siste tilfellet; løsningen er et punkt, akkurat somx=2,y=3,z=1 er et system som gir plan parallelle med koordinataksene som snitter hverandre i(2,3,1). De metodene du har brukt gir transformasjoner (tillatte kombinasjoner av parallellforskyving, skalering og rotasjoner; de som ikke endrer løsningsmengden) som tar ditt system over i dette systemet. Er det grafisk nok?

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010