www.matematikk.org

Vektoroppgave gjort algebraisk

Spørsmål:

Mahvash, 17

I denne oppgaven erA=(1,2)B=(5,2) og C=(9,8).

a.) Finn koordinatene til et punkt D slik at firkanten ABCD blir et parallellogram.

b.) Vis at diagonalene AC og BD står normalt på hverandre.

c.) FinnBAD.

d.) La H være et punkt på AB. Forklar at det da finnes et tall t slik at H får koordinatene H=(1+6t,2+4t).

e.) Bestem t når H ligger slik at vektoren CH er vinkelrett på vektoren AB.

f.) Hva blir avstanden fra C til AB?

Svar:

Hei, Mahvash!

a) Punktene er vektorer fra origo(0,0). Tegn dem for deg selv!

AB=BA=(5,2)(1,2)=(6,4).

BC=CB=(9,8)(5,2)=(4,6).

For at ABCD skal bli et parallellogram måDB=ABBC=(2,2) (Dette er lett å se ved å tegne det). Da er

D=B+(DB)=B+BD=BDB=(5,2)(2,2)=(3,4).

b) Vi har en diagonal allerede, den andre erAC=CA=(10,10).

ACDB=(10,10)(2,2)=2020=0,

og dermed står diagonalene normalt på hverandre.

c) Her kan vi bruke sammenhengen mellom de to formlene for prikkprodukt, og så kommer det ganske raskt. Vi skal ha vinkelen mellom AB og AD, som er samme vektor som BC.

cos(BAD)=ABBC|AB||BC|=(6,4)(4,6)42+62=4852.

BAD=cos1(4852)23º.

d) Alle punkter på linjestykket AB er gitt somA+tAB, der punktet er mellom A og B når0<t<1.

A+tAB=(1,2)+t(6,4)=(1+6t,2+4t)=H.

e)Vi må finne en formel for CH.

CH=HC=(1+6t,2+4t)(9,8)=(10+6t,10+4t).

Vi ønsker atCHAB=0.

CHAB=(10+6t,10+4t)(6,4)

=60+36t40+16t=100+52t, altså må

t=10052=2513. Dette tallet er ikke mellom 0 og 1, så H er altså ikke mellom A og B, det er et punkt på linjen gjennom de to punktene.

f) CH er vinkelrett på AB, så avstanden fra C til AB er bare lengden av CH.

CH=(10+62513,10+42513)=(2013,3013).

Nå er det greit nok å regne ut denne lengden.

|CH|=CHCH=101322+32=10132.8, som da er avstanden fra C til AB.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010