Areal av et rektangel

I et rektangel er den ene siden 3 cm lenger enn den andre. Arealet av rektangelen er 100 ${cm}^2$. Finn ut hvor lange sidene er ved å lage en likning og løse den.

La sidene hete $a$ og $b$. Da vet vi at $ab=100 c{m}^2$. En av sidene er lenger enn den andre, vi kan anta at det er $a$, så da er $a=b+\left(3 cm\right)$. Da er

$100 c{m}^2=ab=\left(b+3 cm\right)\cdot b=b^2+\left(3 cm\right)\cdot b$ og vi har likningen vår. Vi kan løse den ved hjelp av det fullstendige kvadratet

${(b+\left(\frac{3}{2} cm\right))}^2=b^2+\left(3 cm\right)\cdot b+\left(\frac{9}{4}{ cm}^2\right)$.

Vi setter det inn i likningen:

${(b+\left(\frac{3}{2} cm\right))}^2-\left(\frac{9}{4}{ cm}^2\right)=100{ cm}^2$,

${(b+\left(\frac{3}{2}cm\right))}^2=\left(\frac{409}{4}c{m}^2\right)$. Fra det ser vi at

$b+\left(\frac{3}{2}cm\right)=\pm \sqrt{\frac{409}{4}}cm$,

$b=(-\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{409}{4}})cm$. Vi velger den positive løsningen, for negativ sidelengde gir ikke mening, og da får vi at $b$ er cirka 8,6 cm, og dermed at$a$ er cirka 11,6 cm.

Vi setter prøve på løsningen:$\left(8.6cm\right)\cdot \left(11.6cm\right)=99.76{cm}^2$. Dette er nær nok, siden vi rundet av litt i utregningen av kvadratroten over. Dermed får vi at rektangelet har sidelengder 8,6 cm og 11,6 cm.