www.matematikk.org

Parallelle tangenter

Spørsmål:

Mathusha, 17

En funksjon f er gitt ved f(x)=x3+x2.

a) Finn likningen for tangenten i punktet (1,f(1)).

b) Grafen til f har en tangent som er parallell med tangenten i (1,f(1)). Finn likningen for denne tangenten.

Jeg trenger svar på disse spørsmålene... Hjelp meg, Orakel.

Svar:

Hei, Mathusha!

Funksjonen f tar et tall til et tall: xx3+x2. Grafen y=f(x) er de parene av tall (x,y) som henger sammen som punkt og verdi for f.

(1,f(1))=(1,13+12)=(1,2) er et punkt på grafen til f.

a) Grafene til funksjoner på formen l(x)=ax+b gir linjer. (Sammen med x=c, som er linjer som ikke er graf til noen funksjon, er dette alle linjene.) Tangenten til grafen til f i et punkt er en linje gjennom punktet som har stigningstall a lik den deriverte i punktet:

dfdx(x)=3x2+2x,

dfdx(1)=312+21=5.

Vi bruker dermed a=5: l(x)=5x+b. Det andre kravet er at l går gjennom punktet (1,2), så vi krever l(1)=2.

l(1)=51+b=5+b=2,

b=25=3.

Tangenten til f i (1,2) er y=5x3.

b) Linjer er parallelle om de har samme stigningstall. Vi må derfor løse ligningen

dfdx(x)=5: 3x2+2x=5,

x2+23x=53,

x2+23x+19=53+19,

(x+13)2=169,

som gir oss x+13=43 eller x+13=43, det vil si x=1 eller x=53. Det første svaret vet vi allerede om, vi skal dermed ha det andre. Den parallelle tangenten er altså gjennom punktet (53,f(53))=(53,5027). Da får vi

m(x)=5x+b,

m(53)=253+b=5027,

b=17527.

Den parallelle tangenten er y=5x+17527. Se figuren under.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010 Endret: 27.05.2014