www.matematikk.org

Fra 2 kvadratrøtter til 1 med første kvadratsetning

Spørsmål:

Guro og Anja, 16

Hvordan løser vi denne oppgaven? Skriv uttrykket 7+43 med bare ett rottegn. Svaret skal bli2+3, og tidligere i samme oppgave har vi regnet ut(5+3)2 , ved å bruke første kvadratsetning. Vi og læreren vår sier takk!

Svar:

Hei, Guro og Anja!

For at 7+43=2+3 må (2+3)2=7+43. Det kan vi sjekke ved å bruke første kvadratsetning: 

(2+3)2=22+223+(3)2=7+43. Siden vi hele tiden velger den positive roten har vi nå vist det.

 

Om vi ikke visste svaret på forhånd ville det blitt litt mer regning, da kunne vi gått fram som følger.

x=7+43,

x2=7+43,

x27=43,

(x27)=423,

x414x2+1=0.

Tallet vi er ute etter er en rot i dette polynomet, og vi trenger å faktorisere det.

16=42,16=14+2, vi setter inn dette her:

x414x2+1=((x2)2+2x2+1)(4x)2. Ved å bruke første kvadratsetning baklengs får vi nå at dette uttrykket er

x2+12-4x2, og vi bruker tredje kvadratsetning:

=((x2+1)+4x)((x2+1)4x),

=(x2+4x+1)(x24x+1).

Siden

x24x+1=x24x+43=(x2)23

er

x=2±3.

Da er det bare å velge det riktige fortegnet og sjekke som vi gjorde over.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010