www.matematikk.org

Kvadratrot, regnet ut med Newtons metode

Spørsmål:

Jon, 15

Hva er formelen en kalkulator bruker for å regne ut kvadratroten av et tall? f.eks hvis du trykker kvadratroten av 20 så får den 4,4721359549995793928183473374626 osv.. hvordan oppnår den et så nøyaktig tall? Og kan vi da bruke denne formelen til å regne ut kubikktall?

Svar:

Hei, Jon!

Kvadratroten av 20 er et tallx slik at x2=20.

Kvadratet av 4,4721359549995793928183473374626 er 20.00000000000000000000000000000042511336186142621052652540639876.

Merk at det betyr at det faktisk ikke er den ekte kvadratroten til 20, det bare stemmer godt nok dersom vi ikke trenger flere sifre enn det området vi har nøyaktighet i. Hvor mange sifre vi trenger i regninger kommer an på hva vi trenger det til, eller hvor nøyaktige målingene er.

Kalkulatoren bruker mest sannsynlig en versjon av Newtons metode, som faller sammen med en eldre babylonsk metode for kvadratrot og en delfølge i avkortingene i kjedebrøkutviklingen. Newtons metode er en algoritme vi kan anvende for å finne nullpunkter, og når vi gjør det på x220=0 får vi en tallfølge som går mot 20. Leddene i følgen er relatert ved

neste=12(forrige+20forrige).

Vi har ikke noe første ledd, det må man finne på annet vis. For eksempel er 42<20<52, så vi starter midt i mellom i tallet 4,5. Da er det neste leddet

12(92+2092)=16136=4,47222..., og det neste er

12(16136+2016136)=51841115924.4721359, det neste er

12(5184111592+205184111592)4.4721359539995793928, og så videre. Hver gang vi regner ut neste ledd får vi flere riktige desimaler.

Kuberoten, eller tredjeroten, kan man også finne ved Newtons metode. Da blir formelen litt annerledes fra sist, vi bruker x3=20 som eksempel:

neste=13(20(forrige)2+2forrige).

Igjen må vi gjette på et startpunkt. 23<x3<32, så vi gjetter på punktet 2,5.

13(20(52)2+252)=41152.73..., det neste er

13(20(4115)2+2(4115))2.714, og så videre.

Denne metoden kan generaliseres til generelle funksjoner, men det er mer teorikvrevende. For å ha noen formening om hva vi snakker om i resten av forklaringen må du kjenne til derivasjon. Newtons metode kan brukes til å finne en løsning av f(x)=0 for alle deriverbare f. Generelt, hvis du har et første ledd x0 er Newtons metode gitt ved at

xk+1=xkf(xk)f(xk) fork=0,1,2,..., og så bare stopper man når man er nær nok til sitt formål.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010