www.matematikk.org

Tallfølge og Gauss' triks

Spørsmål:

Ann Kristin, 18

Hei! jeg har et lite problem jeg ikke helt finner løsningen på. Jeg har en tallrekke; 1, 3, 7, 13. Jeg har funnet ut at de neste tallene blir 21, 31. (Fordi du plusser med 2, 4, 6 og så videre) Men så kommer problemet: Jeg skal finne en formel for dette ved hjelp avn. Her står jeg fast...

Kan du hjelpe meg?

Svar:

Hei, Ann Kristin!

Godt observert:

1=1,

3=1+2,

7=1+2+4,

13=1+2+4+6,

21=1+2+4+6+8,

31=1+2+4+6+8+10,

og så videre...

La oss se på uttrykket 2+4+6+8+..., eneren kan vi bare legge til igjen etterpå om vi finner en bra måte å regne ut dette på. Hvis vi sier at 1 tilsvarer n=0 er det alltidn tall i denne partallssummen. Uttrykket er det samme som 2(1+2+3+...), så vi vil egentlig finne en formel for summen av de undefined0 første hele tallene.

En liten gutt for lenge siden var så flink i matematikk at læreren ga ham et regnestykke for å slippe unna ham en stund, de andre elevene trengte jo også hjelp. Oppgaven han fikk var å legge sammen alle tallene fra 1 til 100, men til lærerens overraskelse var han ferdig nesten med en gang. Det han gjorde var å ta summen to ganger, og gruppere på en smart måte:

1+2+...+100+1+2+...+100=(1+100)+(2+99)+...+(100+1)

Du ser vi teller "ned" i den andre summen og opp i den første. Nå får vi 100 ledd, og alle sammen er faktisk 101! Så denne summen er 100101, og for å få bare den summen vi ble bedt om deler vi på to etterpå, så det endelige svaret er 1001012. Det er ikke noe spesielt med tallet 100 her, vi kunne gjort det for alle naturlige tall, så da ser vi at summen av den første naturlige tallene er gitt ved n(n+1)2. Detn-te leddet i din tallrekke om vi teller som over er da gitt ved

1+2n(n+1)2=1+n(n+1)=n2+n+1, for n=0,1,2,...

Den lille gutten i historien over het Gauss til etternavn. Søk etter ham på internett en gang!

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010