www.matematikk.org

Derivert av x i x'te

Spørsmål:

Thomas, 18

Bestem den deriverte av følgende uttrykk: xx.

Svar:

Hei, Thomas!

For å løse denne trenger vi å vite at ex og ln(x) er inverse funksjoner: x=eln(x). Så per definisjon er xx=exln(x). Det er greit å se at det stemmer:

exln(x)=(eln(x))x=(x)x.

Vi vet at tet=et. Hvis t er en funksjon av x er xet=etdtdx ved kjerneregelen.

Vi lar nå t=xln(x), så et=xx. Vi regner ut ved produktregelen:

dtdx=x(xln(x))=x(x)ln(x)+xxln(x)=1ln(x)+x1x=ln(x)+1

Nå setter vi inn for t og dtdx i formelen fra tidligere, og får at

xxx=xet=etdtdx=exln(x)(ln(x)+1)=xx(ln(x)+1), som besvarer spørsmålet.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010 Endret: 27.05.2014