www.matematikk.org

Finn a slik at vektorene blir parallelle

Spørsmål:

Marit, 18

Vi har vektorene

AC=[(a2)3,(a+1)5,a5]

AB=[1,6,4]

Skal bestemmea slik at disse er parallelle. Hvordan løser jeg denne oppgaven?

Svar:

Hei, Marit!

Det er flere måter å gripe dette an på. En måte er å bruke vektorproduktet, også kalt kryssproduktet. Det gir til to vektorer en ny vektor normalt på planet de spenner ut. Lengden til vektorproduktet er arealet av parallellogrammet de spenner ut. Arealet er null om de er parallelle. Vi regner ut kryssproduktet, finner en formel for arealet, og så prøver vi å finne ena slik at arealet blir 0.

 [1,6,4]×[a5,a4,a5]= 

 [(6)(a5)(4)(a4),(4(a5)(1)(a5)),1(a4)(6)(a5)]= [2a+14,5a+25,7a34] 

(Ta eventuelt en titt i en mattebok for å finne formelen for kryssproduktet).

Kvadratet av lengden er null hvis og bare hvis lengden er null, så istedenfor lengden til kryssproduktet kan vi se på kvadratet av lengden (og dermed bli kvitt en litt ekkel kvadratrot):

(2a+14)2+(5a+25)2+(7a34)2=78a2782a+1977=0.

Ved å sjekke, for eksempel med abc-formelen, ser vi at denne likningen dessverre ikke har reelle røtter, så vi kan ikke få uttrykket til å bli 0. Dermed vil kryssproduktet avAC ogAB alltid ha ikke-null lengde, og da er arealet av parallellogrammet de utspenner alltid større enn null. Dermed er ikke disse vektorene parallelle for noen valg ava.

Hvis vi hadde funnet en reell løsning over kunne vi imidlertid bare satt inn den og fått et svar på oppgaven.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010