Fullstendige kvadraters metode

Hva er "fullstendige kvadraters metode"? Skal bruke det på

$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$.

Fullstendige kvadraters metode brukes for å løse kvadratiske (eller andregrads-) ligninger, og er en måte å skrive om likningen på til en form som er lettere å regne med. Et fullstendig kvadrat er et uttrykk på formen ${(x+a)}^2$. Om vi ganger ut dette får vi

${(x+a)}^2=x^2+2xa+a^2$.

Fullstendige kvadraters metode går ut på å få ditt uttrykk til å likne på dette, lettest illustrert med et eksempel. $x^2+x-2$ har ikke et to-tall foran $x$, så vi tvinger inn et:

$x^2+x-2=x^2+2x\cdot \frac{1}{2}-2$.

Nå er det klart for at for å få det til å være på formen over må $2xa=2x\frac{1}{2}$, så $a=\frac{1}{2}$.

Det neste vi gjør er å få inn $a^2=\frac{1}{4}$. Standardmetoden er å legge til og trekke fra:

$x^2+2x\frac{1}{2}-2=x^2+2x\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-2-\frac{1}{4}$.

Nå kan vi trekke sammen det fullstendige kvadratet, og får at:

$x^2+x-2={(x+\frac{1}{2})}^2-\frac{9}{4}$.

Det er lettere å finne nullpunkter til annengradslikninger på denne måten. Hvis vi setter omskrivingen lik null finner vi med en gang at nullpunktet oppfyller

${(x+\frac{1}{2})}^2=\frac{9}{4}$, og om vi løser dette ved å ta roten på begge sider får vi at $x=1$ eller $x=-2$ er de to nullpunktene for det kvadratiske uttrykket.

PS: Om vi hadde gjort det vi gjorde over for en generell annengradslikning av typen $a{x}^2+bx+c$ hadde vi faktisk endt opp med å utlede abc-formelen, så den kommer fra fullstendige kvadraters metode.