www.matematikk.org

Sum av oddetall er kvadrater, kan det generaliseres?

Spørsmål:

Roy, 14

Jeg har funnet ut at hvis vi adderer alle oddetallene opp mot hverandre etter rekkefølge fra minst til størst, vil vi alltid komme frem til et kvadrattall. Det jeg lurer på er om det er en lignende formel for kubikktall og tretall. Med tretall mener jeg f.eks 999 som da er 729, og dette er da et tretall. :)

Svar:

Hei, Roy!

Det er riktig. Oddetall kan skrives 2k+1 for k=0,1,...

(k+1)2=k2+2k+12k+1=(k+1)2k2, og da er

k=0n(2k+1)=(1202)+(2212)+...+((n+1)2n2)=(n+1)2,

siden alle de andre leddene opptrer en gang med positivt fortegn og en gang med negativt, og dermed får vi et kvadrat.

Vi kan prøve det samme trikset igjen og få en sånn formel som du tenker deg.

(k+1)3=k3+3k2+3k+1, så vi kunne summert tall på formen

3k2+3k+1=(k+1)3k3 og fått som sum (n+1)3 på samme måte som over. Så da ser du kanskje hvordan man kan lage en sum som lager tall i fjerde også?

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010 Endret: 28.05.2014