www.matematikk.org

Utvalg fra en gruppe

Spørsmål:

Stein, 30

En gruppe ungdommer, 10 gutter og 11 jenter, er med på en samling for aktivitetsledere.

  1. Da kurset startet, måtte alle deltakerne gi et kort med navn og bilde til hver av de andre deltakerne. Hvor mange kort ble utvekslet til sammen? 
  2. Seks jenter skal velges ut til et kurs i rullebrett, mens fem gutter skal på et kurs med seilbrett. Finn antall mulige måter hver av disse gruppene kan settes sammen på.
  3. De resterende 10 ungdommene, fem gutter og fem jenter, skal spille tennis. Det skal lages par som består av én gutt og én jente. Hvor mange ulike sammensetninger med fem par kan vi sette opp?
  4.  Fire ungdommer trekkes tilfeldig fra hele gruppen. Regn ut sannsynligheten for at det er flertall av jenter blant de fire.

Svar:

Hei, Stein!

Vi merker oss at det er totalt 21 deltakere på samlingen.

 

1. Vi tenker oss at det var færre personer, og tenker på hvor mange kort som totalt blir utvekslet. Det er like mange kort som gis bort som tas imot, så vi teller opp de som gis bort:

1 person - Ingen kort gis bort.

2 personer - 2 kort gis bort (Hver av dem gir ett til den andre).

3 personer - 6 kort gis bort (Hver av dem må gi bort 2 kort og det er 3 av dem,23=6).

4 personer - 12 kort gis bort (Hver av dem må gi bort 3 kort og det er 4 av dem,34=12).

5 personer - 20 kort gis bort (Hver av dem må gi bort 4 kort og det er 5 av dem,45=20).

Slik kan vi fortsette, men her ser man at mønsteret er at vi må gange antall personer med (antall personer minus 1). Vi vet at det i alt er 21 personer, og da må hver av dem gi bort 20 kort. Svaret blir da at totalt2021=420 kort blir utvekslet.

 2. Antall måter å velge utk avn personer på om vi ikke bryr oss om rekkefølgen finner du ved å bruke formelenn!(nk)!k!. Dette tallet kalles ofte for en binomialkoeffisient, og vi skriver det som(nk). Her erk=6,n=11 for jentenes kurs, så vi regner ut og får at

(116)=11!5!6!=111098765432154321654321=11109875432=462.

Det finnes altså 462 måter å velge ut jentene på. Tilsvarende for gutter kan man regne ut at(105)=252, så det finnes 252 måter å velge ut guttene på.

 

3. Vi tenker som følger: Den første jenta som skal få en gutt som partner, kan få hvilken som helst av de 5 guttene. Den neste kan få en av de 4 som er igjen, den tredje jenta kan få en av de 3 som da er igjen, den fjerde får en av de 2 siste, og den siste jenta får den siste gutten. Matematisk kan vi skrive dette som54321=5!=120, så det er altså 120 forskjellige måter å velge ut parene på.

 

4. Sannsynligheten for at det er flertall av jenter (dvs. tre eller fire jenter) er antall måter vi kan få tre eller fire jenter på, delt på antall måter vi kan plukke ut fire ungdommer på, som vi kan skrive slik:

(113)+(114)(214)

Ved å regne ut dette uttrykket får man svaret 8.3%.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.02.2010