www.matematikk.org

Eksponentiallikninger

Spørsmål:

Marianne, 17

Hei, driver med eksponentiallikninger.
En leilighet steg i pris fra 780 000 kr til 1 250 000 på 3 år.
Kan dere vær så snill vise hele regneprosessen så man forstår hva man skal gjøre.
a) hvor stor er den totale prisstigningen i prosent? Vet det er 60%, men hvordan...
b) hvor stor er den årlige prisstigningen i prosent?
c) når har denne leiligheten en pris på 5 000 000 kr dersom den årlige prisstigningen fortsetter på samme måte?

Svar:

Hei, Marianne!

Til disse oppgavene er det en viktig formel vi kommer til å bruke:

G  vn = N

der G

står for gammel verdi, v for vekstfaktor, n for antall perioder (som regel antall år eller antall måneder) og N for ny verdi.

a) Vi skal finne den totale prisstigningen i prosent. Derfor ser vi på 3 år som én periode. Gammel verdi er 780 000 kr og ny verdi er 1 250 000 kr. Siden vi ser på en periode, er n=1v er ukjent. Formelen vår gir da:

780 000  v = 1 250 000 

v=1 250 000 780 000

v=1,60

For å finne prosenten ved hjelp av vekstfaktor, trekker du 1 fra vekstfaktoren, og multipliserer med 100. Er svaret et positivt tall, betyr det økning. Er det negativt, betyr det nedgang.

Fra vekstfaktor til prosent:

1,60 - 1 = 0,60 

0,60100=60%

Det er altså 60% endring, og siden 60 er et positivt tall, så er det 60% økning.

b) Her er det to måter å finne svaret på. Enten bruker du formelen, G=780 000, n=3N=1 250 000v er ukjent, og løser likningen på samme måte som over, eller du ser at vekstfaktoren i forrige oppgave kan fordeles på 3 år (pass på at du ikke deler 603. Det gir feil svar). Hvis du multipliserer vekstfaktoren etter ett år med seg selv 3 ganger, får du den totale vekstfaktoren fra forrige oppgave. Med andre ord:

v  v  v = 1,6 

v3=1,6

Her kan vi ta tredjeroten (også kalt kubikkroten) på begge sider, og får at

v = 1,63 = 1,17

Vekstfaktoren per år er 1,17 og vi finner prosenten på samme måte som tidligere:

1,17 - 1 = 0,17

0,17100=17%

Altså er det 17% endring hvert år, og siden 17 er et positivt tall, så er det 17% økning.

c) Her bruker vi nok en gang formelen. Vi vet at G=780 000v=1,17 (fra forrige deloppgave), N= 5 000 000, og n er ukjent. Dette gir oss:

780 000  1,17n = 5 000 000

1,17n=5 000 000780 000

log1,17n=log5 000 000780 000

n=6,41

For å løse en logaritmelikning (få n alene når den står i eksponenten), tar vi logaritmen på begge sider. I GeoGebra skriver du

log(1.17, 6.41)

Vi får da:

log1,17n=log5 000 000780 000

n=11,83

Så leiligheten har nådd en verdi på 5 000 000 kr etter omtrent 11 år og 10 måneder (men ca. 12 år er vel også et greit svar vil jeg tro).

Lykke til med videre eksponentiallikninger!

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 28.10.2017 Endret: 30.10.2017