www.matematikk.org

Integrasjon med substitusjon og polynomdivisjon

Spørsmål:

Robin, 17

Hvilke regler, eller hva er den "korrekte måten " å finne det ubestemte integralet på en funksjon som ser slik ut

fx=12x+1.

Svar:

Hei, Robin!

Dette ubestemte integralet kan du løse ved å bruke substitusjon og polynomdivisjon (med restpolynom). Om substitusjon kan du lese her og om polynomdivisjon med restpolynom kan du lese her.

I dette tilfellet kan du substituere på følgende måte

 u=x , du=12xdx 

Vi får at

dx=2x du=2u du

Etter at du setter inn for x og dx ser integralet slik ut:

2u2u+1du=

Nå bruker vi polynomdivisjon på brøkuttrykket slik at vi har u:2u+1. Dette oss et integral på en enklere form:

u:2u+1=12-122u+1

Prøv dette selv! I dette tilfellet får vi også restpolynom.

Integralet ser altså slik ut:

2u2u+1du=212-122u+1=

u2u+1d

Multipliser inn konstanten 2 og bruk at differansen av uttrykk i et integral er det samme som differansen mellom to integraler:

212du-2122u+1du=1du-12u+1=

Dette integralet er nå mye enklere å jobbe med. Vi får:

u-12log2u+1+konstant

 Det er altid viktig å huske og substituere tilbake for å få det endelige svaret:

fxdx=x-12log2x+1+konstant

 

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 09.12.2015 Endret: 18.12.2015