www.matematikk.org

Derivasjon av logaritme- og eksponentialfunksjoner

Spørsmål:

Eystein Lunåshaug, 60

Hei. Jeg har en elev på 15 som tar R1 på vgs (jeg jobber på u-trinnet). Har ikke jobbet med dette på 40 år så jeg trenger noen tips for å hjelpe ham. Han har fått to derivasjonsoppgaver:
a) Hva er den deriverte av ln 6x?
b) Hva er den deriverte av x3ex?

Svar:

Hei, Eystein Lunåshaug!

a) Hvis vi ser på uttrykket som satt sammen av to funksjoner, g(h(x)) der

g(x)=ln(x)h(x)=6x

kan vi bruker kjernereglen. Akkurat i dette tilfellet er det enklere å skrive om uttrykket. Av regler for logaritmer har vi at

 ln(6x)=ln(6)+ln(x) 

Siden vi nå har en sum, bruker vi addisjonsregelen for derivasjon og deriverer hvert ledd for seg og legger disse sammen. Siden ln(6) er en konstant, er den deriverte lik 0 og (ln(x))=1x. Vi setter nå dette sammen slik at 

ln(6x)=(ln(6)+ln(x))=0+1x=1x 

b) Her ser vi at vi har en funksjon som er et produkt av to faktorer. Vi bruker produktregelen for derivasjon som sier at (uv)=uv+uv  der u og v er funksjoner. I vårt tilfelle er

u=x3

v=ex

Da regner vi ut de deriverte:

u'=3x2

v'=ex

Her har vi bare brukt formelen for derivasjon av potenser av x, og at (ex)=ex . Den deriverte til funksjonen er derfor lik

 (x3ex)=3x2ex+x3ex=x2ex(3+x)

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 24.10.2013 Endret: 27.05.2014