www.matematikk.org

Koordinater til skjæringspunkt mellom diagonaler i en firkant

Spørsmål:

Renate, 19

Tema: Vektorer mellom punkter. Å bestemme punkter.

Tegn punktene A(3,1) B(6,3) C(5,7) og D (2,5) Trekk opp firkanten ABCD. Bestem vektorene AB, AC og BD. Tegn inn skjæringspunktet S mellom diagonalene AC og BD. Forklar at det finnes tall, x og y , slik at AS= xAC og AS= AB + y BD
Så kommer spørsmålet om å sette opp en vektorlikning og bestemme x og y. Deretter finne koordinatene til S. Dette får jeg ikke til.
Ønsker å se utregning på dette :-)

Svar:

Hei, Renate!

Tegning av firkanten ABCD med skjæringspunktet S mellom diagonalene AC og BD.Tegning av firkanten ABCD med skjæringspunktet S mellom diagonalene AC og BD.

Punktene er A(3,1), B(6,3), C(5,7) og D(2,5).

For å finne vektorene AB, AC, og BD, bruker vi en formel for dette:

Hvis A og B er punkter, er vektoren AB=OBOA. I vårt tilfelle er A = (3,1) og B = (6,3), så OA=[3,1] og OB=[6,3].

 AB=OBOA=[6,3][3,1]=[63,31]=[3,2] 

På samme måte finner vi AC og BD:

 AC=OCOA=[2,6] 

 BD=ODOB=[4,2] 

Ved å se på tegningen så er det klart at vektoren AC er en forlengelse av vektoren AS, siden S er et punkt på linjen. Det betyr at AC og AS har samme retning, dvs at de er parallelle. Det betyr at vi kan skalere AC ned til AS med et tall. Med andre ord finnes et tall x slik at AS=xAC

Med samme argumentasjon som over ser vi at det må finnes et tall y slik at BS=yBD. Med regler for vektoraddisjon er AS=AB+BS. Så setter vi inn for BS, og får likningen AS=AB+yBD .

Ved å sette den første likningen inn for AS i den andre likningen, ender vi opp med likningen

 xAC=AB+yBD 

Nå setter vi inn for koordinatene vi kjenner til AC, AB og BD:

 x[2,6]=[3,2]+y[4,2] 

 Dette gir oss likningene

 2x=34y 

 6x=2+2y 

Vi bruker den første likningen til å isolere x:

 x=34y2=322y 

Så setter vi dette inn i den andre likningen:

 6(322y)=2+2y 

 63262y=2+2y 

 912y=2+2y 

 92=2y+12y 

 7=14y 

 y=714=12 

Dette gir oss at

 x=322y=32212=321=12 

 

Nå finner vi AS ved å sette inn for x:

 AS=xAC=12[2,6]=[122,126]=[1,3] 

Formelen for vektorer og punkter er AS=OSOA. Ved å flytte OA over på den andre siden, får vi OS=AS+OA. Så vi setter inn for AS og OA:

 OS=[1,3]+[3,1]=[4,4] .

Så koordinatene til S er altså (4,4).

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 17.09.2013 Endret: 09.10.2013