www.matematikk.org

2 = 1 når a = b?

Spørsmål:

Magnus, 14

Jeg har en kompis som fant ut at han kunne få a=b til å bli 2=1 med likningen a+(a2b)=b+(a2b). Stemmer dette?

Svar:

Hei, Magnus!

Dette er mulig å få til hvis man gjør en feil underveis. Jeg kan vise den vanligste måten vi gjør det på:

Anta a=b. Vi multipliserer med a på begge sider, og får a2=ab . Deretter trekker vi fra b2 på begge sidene, slik at vi får a2b2=abb2.

Nå faktoriserer vi begge sidene. På venstre side bruker vi konjugatsetningen, og på høyre ser vi at det er en faktor b begge plasser, så den er fellesfaktor og vi kan trekker den ut. Da får vi

(a+b)(ab)=b(ab) .

Men nå ser vi at vi har ab på begge sider slik at vi kan dividere begge sider av likningen med dette uttrykket. Da får vi

a+b=b,

men siden a=b, kan vi erstatte a med b, og vi får at 2b=b. Om vi så dividerer med b, får vi 2=1.

Feilen vi har gjort, er at vi har delt med 0 ("uten å vite det") og da kan alt skje. Siden a og b er like, er ab=0, men det er jo nettopp det vi dividerer med her rett over.

Så dermed kan kameraten din gjøre dette, men han vet antageligvis også hvor han bevisst gjør feil ...

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 16.11.2012