www.matematikk.org

Googol og fakultet

Spørsmål:

Merete, 15

Hei!

Jeg prøver å løse en oppgave som jeg nå har sittet i flere uker med. Jeg er ikke sikker på hvordan jeg skal løse den. Svaret blir 70, men jeg skulle prøve å finne et annet svar, bruke en annen måte å løse oppgaven på. Jeg håper du kan hjelpe meg i gang, hvordan jeg skal tenke. :)

5!=12345=120

Hvilket tall må du sette inn i uttrykket 5! for å få omtrent en googol? Men om jeg skal finne en annen måte finne det ut på enn å gange det 70 ganger for å få 10100 som er en googol... Takk på forhånd!

Svar:

Hei, Merete!

Dette er et veldig interessant spørsmål, og spesielt fordi vi må prøve å svare på det med den matematikken du kan. Dersom du hadde vært veldig bekvem med noe som heter eksponentialfunksjonen kunne vi brukt noe som heter Stirlings formel, og dersom du i tillegg hadde kjent til derivasjon og integrasjon kunne vi brukt Gamma-funksjonen - men vi får prøve å gjøre dette med bare tall.

I stedet må vi forsøke å telle faktorer, og gjøre noen overslag underveis. Vi skal prøve å finne det vi kaller en øvre og nedre grense for en googol. En øvre grense er et tall som helt sikkert er større enn en googol, mens en nedre grense er et tall som helt sikkert er mindre. Det betyr at den riktige verdien ligger et sted mellom.

Først kan vi lage en øvre grense:

Jeg påstår først at 109!=10910821>10100. Det er fordi vi har 100 faktorer (10, 11, 12, ..., 108, 109) som alle er større eller lik 10. Det betyr at vi har et tall som er større enn 10100. (Tre prikker betyr at det kommer noe i mellom, men som bare følger det samme mønsteret. Vi er for late til å skrive det opp.)

Så kan vi prøve å lage en nedre grense. Husk at 10=52.

Vi begynner med de første 20 tallene: I stedet for å se på 12320, bytter vi ut med tall som er litt større, men enklere å regne med. Med "enklere å regne med", krever vi at det bare skal være faktorer 2 og 5 med. Dermed kan vi skrive

 555551010101010202020 

Altså: 1 til 5 erstattes med en 5 hver, 6 til 10 erstattes med 10, og 11 til 20 erstattes med 20 hele veien. Dette tallet er større enn 20!, siden hver eneste faktor er større eller lik den tilsvarende faktoren i 20!. Da kan vi telle opp tierne, og flytte noen av 2-erne fra 20-tallene til 5-tallene, så vi får at produktet over er mindre 1020. Siden produktet igjen er større enn 20!, så må 20!<1020.

Så fortsetter vi oppover til 50. Her bytter vi ut 21 til 25 med 25, og 26 til 50 med 50. (Dette er det lurt å skrive ned på et ark selv da matematikk fungerer best med blyant eller penn i hånda.) Da får vi et produkt som er 10 ganget med seg selv 25 ganger, ganger 5 ganget med seg selv 25 ganger (50), ganger 25 ganget med seg selv 5 ganger, som er det samme som 5 ganget med seg selv 10 ganger. Det blir igjen det samme som 10 ganget med seg selv 25 ganger, ganger 5 ganget med seg selv 35 ganger, eller

 1025525255=1025525510=1025535 

Vi har lyst til å utnytte femmerne litt bedre. 5 er litt større enn 4, som er 22, så vi kan bytte ut omtrent en tredel av femmerne med firere.

1025535>1025522411=1025522222=10251022=1047

Hvis vi setter dette sammen med det vi fant opp til 20, så vet vi nå at

50!=1220212250<10201047=1067.

Dette er en nedre grense. Den sier at 50! iallfall ikke er større enn så-og-så mye. 50! er i virkeligheten lik omtrent 1064, så vi er ikke så veldig langt unna.

Vi mangler 1033 for å komme til 10100. Dersom vi ganger 1067. Med samme teknikk som før, kan vi bytte ut de neste tallene i (nå) 100! med 100, og se hvor mange vi kan gange inn før vi møter på trøbbel. Dersom vi ganger inn 16 stykker, blir det 10016=1032, så da er vi fortsatt under. Da har vi

66!=66655150!<6665511067<100161067

Videre har vi at

100161067=10321067=1099=10100.

Dette begynner å bli veldig langt, og jeg skal ikke forvente at du har hengt med hele veien, for dette er litt komplisert, men det er veldig god trening for mer avansert matematikk! Det vi har greid å vise til nå, er at

66!<10100<109!

så en googol må altså ligge mellom 66! og 109!. Vi var mer nøye med den nedre grensen, så vi kan nok av erfaring kanskje forvente at den ligger litt nærmere den enn den øvre, og dersom vi fortsetter på samme måten, kan vi begrense dette enda litt bedre, men det vil nok ta enda lenger tid, og bare bli mer forvirrende. 

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 05.11.2012 Endret: 09.04.2013