www.matematikk.org

Tre vektorer på rett linje

Spørsmål:

Ragnhild, 18

Spørsmålet er hentet fra en oppgavesamling i R2: Vektorer:

"Tre punkter har posisjonsvektorer u, v og 4v - 3u. Vis at de tre punktene ligger på en rett linje."

Hvordan skal jeg klare å regne ut dette når jeg har tre ukjente? For at de skal ligge på en rett linje vet jeg jo at to av vektorene må være parallelle. Men når alle vektorene er ukjente går det jo ikke an å finne ut dette? Kan det være en generell forklaring de er ute etter?

Svar:

Hei, Ragnhild!

Hei, Ragnhild!

Siden vi ikke har noe mer informasjon om vektorene, må dette være noe som holder generelt. De trenger ikke være parallelle, for u og v kan peke i hver sin retning, men da skal vi vise at 4u3v  ligger på den rette linja mellom u og v. Det kan være lurt å lage en tegning for å illustrere hva som foregår her. Tegn da først opp u og v, og lag en trekant ved hjelp av vektoren uv , som vi kan si går fra spissen av  v  til spissen av u. Denne er da retningsvektoren for den rette linja som går gjennom de to vektorene.

Når man har en slik retningsvektor, kan man lage en linje ved å gange med en parameter t. I tillegg trenger vi en vektor for å flytte linja ut fra origo. Den vektoren kan for eksempel være u. Da får vi en linje som er i u ved t=0, og som går gjennom spissen av v.

 l:t(vu)+u 

For t=4 får vi da punktet som ligger på spissen av vektoren 4v3u, så det punktet ligger på linja.

Dersom du ikke hang hele veien med, gjenta hele argumentet med planvektorer, altså vektorer med to koordinater. Det fungerer på samme måte da, men er kanskje litt mindre abstrakt.

Legg merke til at vi nå har gjort dette uten å anta noe som helst om hvor mange komponenter det er i vektorene våre. Antallet komponenter er det vi kaller dimensjonen til et vektorrom, så dette gjelder uansett om dimensjonen er 3, 1000 eller uendelig. (Ja, det går an, men det er ikke pensum før på universitetet.)

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 27.08.2012